¿Por qué los conceptos de álgebra lineal se aplican a las ecuaciones diferenciales?

Question

Muchas de las cosas que hacemos para resolver ecuaciones diferenciales se toman palabra por palabra del álgebra lineal. El concepto de independencia lineal, determinante del uso de Wronskian para determinar la independencia, agrega una solución particular al kernel para obtener la solución general: todo esto que estoy acostumbrado a aplicar en vectores parece funcionar con funciones. ¿Por qué?

Answer 1

He aquí una simple aplicación de la teoría del álgebra lineal a las ecuaciones diferenciales.

Considere la ecuación diferencial $$y^{\prime\prime}+y=0\etiqueta{1}$$ ¿Cómo podemos encontrar todas las soluciones de (1)? Sabemos que (1) se resuelve por tanto $y=\cos(t)$$y=\sin(t)$, pero hay otras soluciones?

Para responder a esta pregunta tenga en cuenta que si $y_1$ $y_2$ resolver (1) y si $\lambda_1$ $\lambda_2$ son escalares, entonces $$y=\lambda_1\cdot y_1+\lambda_2\cdot y_2$$ es también una solución de (1). Esto significa que la colección de $V$ de todas las soluciones de (1) es un espacio vectorial. De hecho, uno puede mostrar que $\dim V=2$ y $\sin(t)$ $\cos(t)$ son soluciones linealmente independientes de (1). Por tanto, todas las soluciones de (1) son de la forma $$\lambda_1\cdot\cos(t)+\lambda_2\cdot \sin(t)$$ para $\lambda_1,\lambda_2\in\Bbb R$.

Más generalmente, se puede mostrar que la colección de soluciones de $V$ a una ecuación diferencial de la forma $$a_n\cdot y^{(n)}+a_{n-1}\cdot y^{(n-1)}+\dotsb+a_1\cdot y^\prime+a_0\cdot y=0\etiqueta{2}$$ es un espacio vectorial con $\dim V=n$. Así, para encontrar todas las soluciones de (2) sólo tenemos que encontrar a $n$ soluciones linealmente independientes de (2).