Prueba de que$(\mathbb R×\mathbb R;+,*)$ es un anillo, pero no un campo

Question

¿Cómo puedo demostrar, que $(\mathbb R×\mathbb R;+,*)$ es un anillo, pero no a un campo, donde el $+$ $*$ de las operaciones son: $(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)$$(a,b)*(c,d):=(ac,bd)$?

Para la solución: por lo que tendría que muestran en primer lugar, que el $(\mathbb R×\mathbb R;+,*)$ es un anillo, tengo que demostrar que el uso de la definición de un anillo:

1. $(\mathbb R×\mathbb R;+)$ tiene que ser conmutativa grupo
2. $(\mathbb R×\mathbb R;*)$ tiene que ser un semigroup
3. $*$ debe ser distributiva $+$ (de ambos lados)

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Si 1. 2. y 3. puede ser demostrado, a continuación, $(\mathbb R×\mathbb R;+,*)$ es un anillo.

1. aquí tengo que demostrar que $(\mathbb R×\mathbb R;+)$ es una estructura algebraica donde $+$ es asociativa y conmutativa; el elemento de identidad es $0$ y que todos los elementos tienen una relación inversa entre la
2. $*$ tiene que ser asociativo
3. ? (¿Cómo puedo probar la distributividad en este ejemplo en particular?)

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Ahora tengo que demostrar que $(\mathbb R×\mathbb R;+,*)$, no es un campo. (¿Cómo puedo hacer eso?) También ¿cómo puedo mostrar si o no $(\mathbb R×\mathbb R;+,*)$ es un conmutativa anillo?

Answer 1

Sugerencias:

Para mostrar que es un anillo, simplemente escribe lo que estas definiciones significa en la mano (es decir, (1) significa que $(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)$) y, a continuación, demuestran que tienen.

Supongo que tal vez usted debe determinar lo que el aditivo y multiplicativo de las identidades; es "obvio" que son$(0,0)$$(1,1)$, pero se puede demostrar fácilmente que estos son correctas utilizando las definiciones de $+$ $*$ y el hecho de que las identidades son únicos.

Si es un anillo, pero no a un campo, que probablemente significa que la multiplicación no siempre es invertible. Es decir, si usted encuentra una $(a,b) \neq (0,0)$ que hay no $(c,d)$ $(a,b)*(c,d) = (1,1)$ , entonces usted tiene.

Para mostrar es conmutativa, acaba de demostrar que $(a,b)*(c,d) = (c,d)*(a,b)$; esto es sencillo (que se basa en la conmutatividad de la multiplicación en $\mathbb{R}$).

Answer 2

1. Más en general, para cualquier anillos de $R,S$, su producto directo de $R\times S$ será de nuevo un anillo cuando las operaciones se definen coordinar sabio, como en este ejemplo. Para la distributividad: $$(r,s)\cdot\left((r_1,s_1)\,+\,(r_2,s_2)\right)\ =\ (r,s)\cdot\left(r_1+r_2,\,s_1+s_2\right)\ =\\ =\ \izquierdo(r\cdot(r_1+s_1),\,s\cdot(s_1+s_2)\right)$$ y ahora uso distributicity en $R$ $S$ (que ahora coinciden con $\Bbb R$).
2. Hay divisores de cero en $\Bbb R\times\Bbb R$, es decir, por ejemplo, $$(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)\,.$$
3. Es conmutativa, como $(a,b)(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)(a,b)$ mantiene.