¿Es necesario utilizar el axioma de Regularidad para demostrar que la función sucesora es inyectiva?

Question

Básicamente el problema es que dado un conjunto inductivo $X$ podemos definir la función sucesora en $X$ tal que $S:X\longrightarrow X$ y para todos $x\in X$ , $S(x)=x\cup \{x\}$ . Así, uno de los axiomas de Peano dice que tal función es inyectiva en $\omega$ . Mi intento de probar que $S$ es inyectiva utiliza el axioma de regularidad:

Supongamos que para algunos $x$ y $y$ en $X$ tenemos $S(x)=S(y)$ , lo que significa $x\cup \{x\}=y\cup \{y\}$ . Como $x\in x\cup \{x\}$ entonces $x\in y$ o bien $x=y$ . Si $x=y$ entonces $S$ es inyectiva. Si $x\in y$ pero $x\neq y$ entonces desde $y\in y\cup \{y\} $ y $y\cup \{y\}=x\cup \{x\}$ Así que $y\in x$ . Entonces $x\in y$ y $y\in x$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto $S$ es inyectiva.

Otro intento que estoy intentando es por medio de la inducción ya que $X$ es inductivo pero hasta ahora lo único que se me ocurre es utilizar el mismo argumento.

¿Cómo puedo demostrarlo sin utilizar el axioma de regularidad? ¿Es posible?

Answer 1

En los comentarios Daniela menciona que el objetivo es demostrar que efectivamente la función sucesora es inyectiva en $\omega$ . Como muestra Hagen, si tomamos un conjunto inductivo arbitrario, se necesita el axioma de regularidad.

Pero si reducimos a conjuntos inductivos linealmente ordenados, es decir $X$ es inductivo y para cada $x,y\in X$ o bien $x=y$ o $x\in y$ o $y\in x$ entonces podemos demostrar que $S$ es inyectiva sin apelar al axioma de regularidad. (Nótese que estamos hablando de un orden lineal agudo, es decir, irreflexivo, transitivo y total. Estas propiedades implican que el orden es fuertemente antisimétrico: $\forall x\forall y(\lnot(x<y\land y<x))$ . Sin embargo, la siguiente prueba puede ser fácilmente modificada para acomodar el caso en el que tomamos reflexivo, antisimétrico y transitivo).

Supongamos que $X$ es linealmente ordenada e inductiva, y $x,y\in X$ tal que $x\cup\{x\}=y\cup\{y\}$ Si $x=y$ hemos terminado, de lo contrario $x\in y$ y $y\in x$ Sin embargo, como $(X,\in)$ es [fuertemente] antisimétrico esto no puede ocurrir por lo que es una contradicción.

Answer 2

Si abandonamos la regularidad, es posible que nos enfrentemos a algunos conjuntos extraños $a\ne b$ tal que $a=\{b\}$ y $b=\{a\}$ . Entonces, si $a,b\in X$ (por ejemplo $X=\omega\cup\{a,b\}$ ), la inyectividad falla de hecho. Pero si se quiere trabajar sólo con el caso $X=\omega$ (el ordinal infinito más pequeño), todo está bien: Los ordinales son regulares automáticamente.