Convergencia débil y transformada de Fourier

Question

Para un número entero positivo $k$ , dejemos que $\mu_k=\dfrac{1}{2}\left(\delta(x)+\delta\left(x-\dfrac{2}{3^k}\right)\right)$ . Sea $dC_k=\mu_1\ast\cdots\ast\mu_k$ . Tenemos que $dC_k$ converge débilmente a $\mu_C$ , donde $C$ es la función de Cantor.

Ahora queremos demostrar que $\hat{\mu}_C(y)=e^{ay}\prod_{k=1}^\infty\cos(y/3^k)$ para algunos $a\in\mathbb{C}$ . Para ello, también tenemos que demostrar que el producto infinito converge.

Quiero utilizar la convergencia débil. ¿Es cierto que $\hat{dC_k}(y)$ converge a $\hat{\mu}_C(y)$ ?

Answer 1

En mi respuesta a su pregunta anterior, mostré que $dC_k \rightharpoonup dC$ , donde $dC$ es la medida de Cantor. Una forma de proceder a partir de aquí a la convergencia de las transformadas de Fourier de estas medidas es intentar realizar la totalidad de $dC_k$ secuencia y $dC$ en el mismo espacio de medidas para que podamos aplicar directamente la convergencia dominada.

Si te fijas en el argumento que di en el hilo anterior, implícitamente hicimos esto. Si tomas como espacio de medida el natural para la secuencia de lanzamiento de la moneda $X_j$ , entonces la ley de $\sum_{j=1}^k \frac{X_j}{3^j}$ es $dC_k$ y la ley de $\sum_{j=1}^\infty \frac{X_j}{3^j}$ es $dC$ . Esto significa que si llamamos a $P$ la ley de la secuencia de lanzamiento de la moneda, entonces \begin{align*} E\left[e^{it \sum_{j=0}^k \frac{X_j}{3^j}} \right] &= \int e^{it \sum_{j=0}^k \frac{X_j(\omega)}{3^j}} dP(\omega) \\ &= \int e^{itx} dC_k(x) \\ &= \widehat{dC}_k(t), \end{align*}

donde la primera igualdad es por definición y la segunda igualdad proviene del argumento que di en mi respuesta anterior. Del mismo modo, \begin{align*} E\left[e^{it \sum_{j=0}^\infty \frac{X_j}{3^j}} \right] &= \int e^{it \sum_{j=0}^\infty \frac{X_j(\omega)}{3^j}} dP(\omega) \\ &= \int e^{itx} dC(x) \\ &= \widehat{dC}(t). \end{align*}

$dP$ es una medida de probabilidad (recordemos que es la ley de una secuencia de $\{0,2\}$ valorados como lanzamientos de monedas justas), por lo que $1$ es integrable. En mi última respuesta mostré que $\sum_{j=0}^k \frac{X_j(\omega)}{3^j} \to \sum_{j=0}^\infty \frac{X_j(\omega)}{3^j}$ . Por tanto, podemos aplicar la convergencia dominada a las funciones $e^{it \sum_{j=0}^k \frac{X_j(\omega)}{3^j}}$ para obtener el límite deseado.

Si no te sientes cómodo con ese enfoque, aquí tienes otra opción. $e^{itx}$ es una función continua acotada y por el teorema de Portmanteau, una secuencia de medidas de probabilidad converge débilmente si y sólo si para todas las funciones continuas acotadas las expectativas convergen. De nuevo, ya mostramos la convergencia débil en la pregunta anterior. Por cierto, aquí importa que nuestras medidas sean todas medidas de probabilidad. Ese resultado falla para medidas generales y convergencia débil general.

Sólo queda calcular las funciones características. Obsérvese que

\begin{align*} \widehat{\mu}_j(t) &= \frac{1}{2}\left(1 + e^{i\frac{2t}{3^j}}\right) \\ &= e^{i\frac{t}{3^j}}\underbrace{\frac{1}{2}\left(e^{-i\frac{t}{3^j}} + e^{i\frac{t}{3^j}}\right)}_\textrm{$\cos \left( \frac{t}{3^j}\right)$} \end{align*}

para que \begin{align*} \widehat{dC}_k (t) = e^{i\sum_{j=1}^k \frac{t}{3^j}} \prod_{j=1}^k \cos\left(\frac{t}{3^j} \right). \end{align*}

Tomando los límites (y los límites existen por lo que hicimos anteriormente), encontramos que \begin{align*} \widehat{dC}(t) &= e^{i\sum_{j=1}^\infty \frac{t}{3^j}} \prod_{j=1}^\infty \cos\left(\frac{t}{3^j} \right) \\ &= e^{i\frac{t}{2}} \prod_{j=1}^\infty \cos\left(\frac{t}{3^j} \right). \end{align*}