Proyectil para borrar un hemisférica montículo

Question

Sólo he tropezado con este sitio hace un par de días mientras buscaba otras cosas. Este es un gran recurso. Tengo una pregunta por casi 30 años, cuando mi amigo y yo estábamos tratando de resolver la siguiente pregunta del libro "Una introducción a la teoría de la mecánica" por K. E. Bullen. Yo solo descargue de la biblioteca de la 7ª edición de la copia y no en la página.157, la Pregunta 19, escribió:

Una partícula se proyecta desde el punto más alto de un hemisférica montículo de radio de una. Demostrar que no se puede borrar el montículo, a menos que su velocidad inicial supera sqrt(ag/2).

Mi amigo y yo trabajamos una solución muy simple que nos consiguió la "respuesta" sqrt(ag/2). Sin embargo, luego nos dimos cuenta de que estábamos definitivamente mal. Pero no íbamos a encontrar la correcta ya que parece ser demasiado difícil para nosotros. Por favor resuelve para mí.

(Es mi primera pregunta. Puedo haber cometido errores en las etiquetas, la forma, la etiqueta ... por favor, ir fácil en mí.)

Answer 1

La velocidad de proyección es mínima cuando el proyectil sólo roza el montículo, o, equivalentemente, cuando el proyectil disparado tangencialmente al montículo en un plano vertical golpea la cúspide del montículo. Tomando el punto de proyección como $(-a\sin\theta,a\cos\theta)$, $y$ eje vertical a través del centro del montículo, la trayectoria en este plano está dada por $$y-a\cos\theta=(x+a\sin\theta)\tan\theta-\frac{g(x+a\sin\theta)^2}{2v^2\cos^2\theta},$$where $g$ is the acceleration due to gravity and $v$ is the speed of projection. Substituting in $x=0$ and $y=a$ (the apex) gives, after simplification, $$\frac{2v^2}{ga}=1+\sec\theta.$$ The speed $u$ at the apex is given by $v^2=u^2+2ga(1-\cos\theta)$, or$$u^2=\frac{ga}2(4\cos\theta+\sec\theta-3).$$To minimize this, differentiate with respect to $\theta$ and equate to zero, giving$$-4\sin\theta+\sec\theta\tan\theta=0,$$or $\theta=\frac13\pi.$ Finally, this gives $u^2=\frac12ga$ or $u=\sqrt{\frac12ga}$.

Answer 2

Si el lanzamiento es lateral, el problema es bastante fácil.

Vamos a tener $y(t)$ la altura del proyectil y $x(t)$ su posición lateral, con $(0,0)$ siendo el centro de la hemishparical montículo de radio $a$.

Entonces usted tiene $y(t)=-\frac 12 gt^2 + y(0)$ $x(t)=v_0t$ ( $y(0)=a$ )

Luego de que el proyectil golpea el suelo en $t=t_1$ al $y(t_1)=0$, que es

$-\frac 12 gt_1^2 + a=0$ o $t_1=\sqrt{\dfrac{2a}{g}}$

A continuación, $x(t_1)=v_0\sqrt{\dfrac{2a}{g}}$

Pero queremos $x(t_1) \geq a$ por Lo que el límite del caso es

$v_0\sqrt{\dfrac{2a}{g}}=a$ o $v_0=\sqrt{\dfrac{ag}{2}}$