¿Este límite depende de x. Derivada del logaritmo natural.

Question

$$ \begin{align} \frac{d}{dx}\ln x &= \lim_{h \to 0} \, \frac{\ln{(x+h)} - \ln x}{h} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \, \frac{1}{h} \, {\ln{\bigg(\frac{x+h}{x}\bigg)}} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \, {\ln{\bigg(1+\frac{h}{x}\bigg)}}^{1/h} \\ \\ &= {\ln{\lim_{h \to 0} \, \bigg(1+\frac{h}{x}\bigg)}}^{1/h}, \text{ let } \frac{h}{x} = \frac{1}{n} \tag{*}\\ \\ &= {\ln{\lim_{n \to \infty} \, \bigg [\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)}}^{n} \, \bigg]^{1/x} \tag{A} \\ \\ &= \frac{1}{x} \ln \lim_{n \to \infty} \, \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n} \tag{B} \\ \\ &= \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x} \end{align}$$

Entonces mi pregunta es ¿es este un paso legal de (A) a (B)? Eliminé $x$ del límite, pero en el paso (*) creé de cierta forma $x = h\cdot n$ lo cual es lo que me confunde. ¿Esto indica que $x$ depende de $n$? Cualquier otro consejo sobre la claridad de la prueba sería genial, ¡gracias!

Answer 1

En el cálculo de $$ \lim_{h \to 0} \, \frac{\ln{(x+h)} - \ln x}{h}, $$ $x>0$ es un número real constante. La igualdad $x=h\cdot n$ te dice cómo $n$ depende de $h$. (Preferiría escribir $x=h\cdot y$ ya que generalmente $n$ significa un número entero.)

Answer 2

$x=h\cdot n$ no implica la dependencia de $x$ en ninguno de los dos variables. $x$ no depende de $n. Pero $n$ si depende de $h$. Ambos se ajustan para que juntos multipliquen a $x$.

Por ejemplo, la famosa ecuación - $$m=\frac{F}{a}$$ (Es la forma reordenada de $F=ma$)

Alguien podría concluir que la masa de un objeto aumenta a medida que la fuerza sobre él aumenta, pero eso, obviamente, no es el caso. La aceleración aumenta proporcionalmente a la fuerza, de modo que su ratio es constante.