Mi libro (Álgebra Lineal Elemental de Andrilli) dice:
El conjunto $\mathcal{{V}}$ = { ${\mathbb {0}}$ } es un espacio vectorial Y es el espacio vectorial más pequeño.
Entonces el libro pregunta por qué $\mathcal{{V}}$ es el espacio vectorial más pequeño. No tengo ni idea de por dónde empezar a explicar por qué $\mathcal{{V}}$ es el espacio más pequeño. Parece una pregunta de impar para hacer.
Sospecho que parte de tu confusión es,
¿qué significa "más pequeño"?
Parece que implica una ordenación parcial de alguna manera, así que aquí hay dos posibles definiciones:
(Preguntas extra: ¿Existe alguna relación entre estas definiciones? ¿Puede probarse una a partir de la otra, y viceversa?)
Ahora, dada cualquiera de las dos definiciones, digamos $V$ es el espacio vectorial más pequeño proporcionó $V$ es menor que $W$ para cualquier espacio vectorial $W$ .
A partir de esta definición, ¿puede demostrar que $\{0\}$ es el espacio vectorial más pequeño? (Pista: Todo espacio vectorial debe tener un $0$ elemento, así que ...)
Por contradicción, suponiendo que {0} no es el espacio vectorial más pequeño, debe haber un espacio vectorial más pequeño que esté en todo espacio vectorial. Pero eso significaría que hay otro elemento en cada espacio vectorial que puede formar por sí solo un espacio vectorial. Eso no es posible ya que el elemento identidad es 0.
Un espacio vectorial no puede estar vacío porque debe tener un elemento de identidad, $0$ , por lo que el espacio vectorial más pequeño no está vacío.
Cualquier conjunto de elementos $V = \{v\}$ donde $v \neq 0$ no puede ser un espacio vectorial porque le faltaría el elemento de identidad.
Así que si $V = \{0\}$ es un espacio vectorial, debe ser el más pequeño porque no hay otros con un solo elemento.
Existen tres condiciones para que un conjunto de vectores V sea un subespacio vectorial. Esas tres condiciones son:
El conjunto V debe ser cerrado bajo la adición de los vectores.
(2) y (3) pueden (y a menudo se combinan) para decir que el conjunto debe ser cerrado bajo combinación lineal de los vectores del conjunto.
Si un vector contiene SOLO el vector { ${\vec0}$ }, resulta que también satisface las otras dos condiciones. Por lo tanto, el conjunto trivial V sólo contiene el vector cero.
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No es una pregunta impar para un matemático. Si te fijas puedes encontrar ese espacio vectorial dentro de cualquier otro espacio vectorial, lo que sí parece que es el más pequeño.
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Lo único más pequeño sería el conjunto vacío. ¿Es un espacio vectorial?
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La mayoría de las definiciones de un espacio vectorial requieren que el conjunto no sea vacío. Por lo tanto, el conjunto vacío no es un espacio vectorial. En este contexto, más pequeño significa que si $V$ es un espacio vectorial cualquiera, entonces existe un subespacio de $V$ isomorfo a $\mathcal{V}$ . En otras palabras, para cualquier espacio vectorial $V$ , $\mathcal{V}$ está dentro $V$ . Por lo tanto, $\mathcal{V}$ es un espacio vectorial porque satisface las propiedades de los espacios vectoriales y es el más pequeño porque todos los demás espacios vectoriales lo contienen.
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Realmente, para que sea el espacio vectorial más pequeño posible, esto significa que es un subespacio de cualquier otro espacio vectorial. Con esta definición, la prueba se vuelve trivial.
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¿Está {1} también dentro de algún espacio Vectorial?
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@JosiahBlaisdell ¿Cómo se define 1 en un espacio vectorial? Es cierto que el 1 está definido en el campo subyacente, pero entonces {1} es sólo un subconjunto del campo de escalares.
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@user4894 Hmmm, no creo que puedas... Ya veo...
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Si te fijas bien, verás que ${}$ es la más pequeña, porque la estructura más pequeña que ${}$ es $$, el conjunto nulo, que no contiene un vector nulo y por tanto no es un espacio vectorial.