Mínimo polinomio de una raíz que implican las 7 de la raíz de la unidad

Question

Vamos ω ser un primitivo 7 de la raíz de la unidad en la $\Bbb C$ e $α := ω + ω ^6$ . Determinar, con la justificación, el polinomio mínimo de α más de Q.

Uno de ellos tendría que utilizar los registros en esa pregunta , o ¿cómo se debe empezar? es la raíz de la unidad que están lanzando los que me fuera, yo sé cómo a estas mínimas polinomio preguntas para los radicales, etc..

Answer 1

Uno tiene la siguiente $\omega^7=1$ $\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1=0$ Ahora calculamos el

$$\alpha=\omega+\omega^6$$ $$\alpha^2=\omega^2+\omega^5+2$$ $$\alpha^3=\omega^3+\omega^4+3\alpha$$

La adición de las tres identidades y reorganización de uno se

$$\alpha^3+\alpha^2-2\alpha-1=0$$

Y $X^3+X^2-2X-1$ es irreducible sobre $\Bbb{Q}$ porque no tiene entero raíces y por lo tanto no racionales de las raíces (es monic). Así tenemos que el polinomio mínimo de a $\alpha$ $\Bbb{Q}$

Answer 2

Vamos ω ser una primitiva $7^{th}$ raíz de la unidad en la $\Bbb C$.

Sugerencia: $\;\omega^7=1, \omega \ne 1\,$, lo $\,\omega^6 = \dfrac{1}{\omega}\,$$\,\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1=0\,$. Dividiendo por $\,\omega^3\,$:

$$ \left(\omega^3 + \dfrac{1}{\omega^3}\right) + \left(\omega^2 + \dfrac{1}{\omega^2}\right) + \left(\omega + \dfrac{1}{\omega}\right) + 1 = 0 \etiqueta{1} $$

y $α := ω + ω ^6$ . Determinar, con la justificación, el polinomio mínimo de α más de Q.

$\alpha=\omega+\omega^6 = \omega + \dfrac{1}{\omega}\,$, entonces:

$$ \alpha^2 = \omega^2+\dfrac{1}{\omega^2}+2 \\ \alpha^3 = \omega^3+\dfrac{1}{\omega^3}+3\left(\omega + \dfrac{1}{\omega}\right) $$

Express $\,(1)\,$ en términos de $\,\alpha\,$ con la anterior, y se obtiene la ecuación cúbica que $\,\alpha\,$ satisface. A continuación, mostrar que el polinomio mínimo, de hecho.

Answer 3

OK, aquí está lo que hice:

Comenzando con

$\omega^7 = 1 \ne \omega, \tag 1$

$\alpha = \omega^6 + \omega, \tag 2$

Yo calcula de la siguiente manera:

$\alpha^2 = \omega^{12} + 2\omega^7 + \omega^2 = \omega^5 + \omega^2 + 2. \tag 3$

donde yo he usado (1) para reducir el $\omega^{12}$$\omega^5$$\omega^7$%#%; luego,

$1$ $\alpha^3 = \omega^{18} + 3\omega^{13} + 3\omega^8 + \omega^3$

$= \omega^4 + 3\omega^6 + 3 \omega + \omega^3 = \omega^6 + \omega^4 + \omega^3 + \omega + 2(\omega^6 + \omega); \tag 4$ $\alpha^3 + \alpha^2 = \omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 2(\omega^6 + \omega) + 2$

utilizando de nuevo (1); también a partir de (1),

$= \omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1 + (1 + 2(\omega^6 + \omega)), \tag 5$

o

$\omega^7 - 1 = 0, \tag 6$

desde

$(\omega - 1)(\omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) = 0; \tag 7$

tenemos

$\omega \ne 1, \tag 8$

ahora (5) se convierte en

$\omega^6 + \omega^5 + \omega^4 + \omega^3 + \omega^2 + \omega + 1 = 0; \tag 9$

o

$\alpha^3 + \alpha^2 = 1 + 2\alpha, \tag{10}$

Por lo tanto $\alpha^3 + \alpha^2 - 2\alpha - 1 = 0. \tag{11}$ es una raíz del polinomio

$\alpha$

He encontrado este polinomio para ser irreducible sobre $\chi(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1 \in \Bbb Q[x]; \tag{12}$ como sigue: si $\Bbb Q$ es reducible $\chi(x)$, debe tener un monic factor de grado $\Bbb Q$, ya que el $1$; este factor debe ser de la forma $\deg \chi = 3$ donde $x - \rho$; en este caso $\rho \in \Bbb Q$ debe ser un cero de $\rho$, como es bien conocido; por lo tanto podemos escribir

$\chi(x)$

y podemos suponer que

$\rho = \dfrac{p}{q}, \; p, q \in \Bbb Z, \tag{13}$

así

$\gcd(p, q) = 1; \tag{14}$

escribimos $\chi \left (\dfrac{p}{q} \right ) = \chi(\rho) = 0; \tag{15}$ (12); luego (15) los rendimientos

$\chi(p/q)$

o

$\left ( \dfrac{p}{q} \right )^3 + \left ( \dfrac{p}{q} \right )^2 - 2 \left ( \dfrac{p}{q} \right ) - 1 = 0, \tag{16}$

multiplicamos (17) por $\dfrac{p^3}{q^3} + \dfrac{p^2}{q^2} - 2\dfrac{p}{q} - 1 = 0; \tag{17}$:

$q^3$

que puede ser escrito

$p^3 + p^2 q - 2pq^2 - q^3 = 0, \tag{18}$

y así vemos que

$p(p^2 + pq - 2q^2) = q^3, \tag{19}$

ahora supongamos $p \mid q^3; \tag{20}$; luego (18) los rendimientos

$p = 1$

o

$1 + q - 2q^2 - q^3 = 0, \tag{21}$

es fácil ver que esta ecuación no tiene entero soluciones; si adoptamos la notación

$q^3 + 2q^2 - q - 1 = 0; \tag{22}$

entonces

$\theta(x) = x^3 + 2x^2 - x - 1 = x^3 + 2x^2 - (x + 1) \in \Bbb Q[x], \tag{23}$

y $\theta(0) = -1; \; \theta(1) = 1; \; \theta(2) = 15; \; \theta(3) = 41, \tag{24}$ sigue creciendo con el aumento de la $\theta(m)$ desde el $m$ términos dominar $x^3 + 2x^2$; uno puede ver que del mismo modo

$x + 1$

y $\theta(-1) = 1; \; \theta(-2) = 1; \; \theta(-3) = -7; \; \theta(-4) = -29; \theta(-5) = -71, \tag{25}$ continúa disminuyendo con la disminución de la $\theta(m)$ ya que ahora el cúbicos término domina; así vemos que no hay ninguna $m$ satisfactorio (22), por lo tanto, podemos descartar la posibilidad de que $q \in \Bbb Z$; a continuación hay algunos de los mejores $p = 1$ con

$r$

a partir de (20) a continuación, también se han

$r \mid p; \tag{26}$

por lo tanto desde $r \mid q^3, \tag{27}$ es el primer llegamos a la conclusión de

$r$

ahora tenemos tanto $r \mid q; \tag{28}$$r \mid p$, de donde

$r \mid q$

en contradicción con nuestra hipótesis (14); por lo tanto, $r \mid \gcd(p, q) \Longrightarrow \gcd(p, q) \ne 1, \tag{29}$ no tiene ceros racionales; por lo tanto, es irreducible sobre $\chi(x)$ y por lo tanto es la mínima de $\Bbb Q$.

Nota: ¡Uf! Eso es muy largo de explicar. Ciertamente habría sido considerablemente más corto si me había recordado de Gauss, Lema, que yo sólo parecen haber recuperado después de la lectura marwalix la respuesta. Estoy recibiendo la sensación de que hay un par de cosas que le tocaría a mí a revisión . . . Final de la Nota.