Cociente Del Espacio De $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$

Question

Acabo de enterarme de topológico cociente espacios y preguntaba si alguien me puede ayudar con este ejemplo he pensado.

Deje $(\mathbb{Q}, +)$ ser el grupo usual de los números racionales para la adición, asimismo,$(\mathbb{R}, +)$. Set $S$ a ser el conjunto de todos los cosets, t.yo. $S=\mathbb{R}/\mathbb{Q}=\{x + \mathbb{Q} \mid x \in \mathbb{R} \}$. ¿Cuál es el cociente del espacio de $\mathbb{R} / S$? ($\mathbb{R}$ está equipada con el ordinario de la topología euclidiana) ¿Cuál es el homeomórficos? ¿Qué hace un típico conjunto abierto?

Gracias.

Answer 1

Desde stackexchange es ser tonto y me parece que no puede comentar en mi propia pregunta - voy a publicar esto como una respuesta.

Estoy pensando en la topología trivial en el set $S$. Ya que si el conjunto de $U$ está abierto en $\mathbb{R} / S$ entonces es preimagen de $q$ (donde $q$ es el cociente de asignación) debe estar abierto en $\mathbb{R}$, lo que significa que no existe un intervalo abierto $J \subseteq q^{-1}(U)$. Pero $q(J)$ es igual a todos los cosets en $\mathbb{R} / S$. Estoy en lo cierto?