Qué tiene de malo?: Encontrar la infinita suma $S = 1 + \frac{3}{4} + \frac{7}{16} + \frac{15}{64} + \frac{31}{256} + \ldots$

Question

La respuesta que tengo a mano no es la misma a la que yo he encontrado usando una hoja de cálculo.

$\displaystyle S = 1 + \frac{3}{4} + \frac{7}{16} + \frac{15}{64} + \frac{31}{256} + \ldots$

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$\displaystyle \frac{1}{4}S = \hspace{8.5pt} \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{7}{64} + \frac{15}{256} + \ldots$

$\displaystyle \frac{3}{4}S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \qquad \leftarrow S- \frac{1}{4}S$

Por la Infinita Suma de los RHS $\displaystyle \left(S = \frac{a}{1-r}\right)$:

$\displaystyle a = 1$

$\displaystyle r = \frac{1}{2}$

Entonces

$\displaystyle \frac{3}{4}S = \frac{1}{1-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle \frac{3}{4}S = 2$

$\displaystyle S = \frac{8}{3}$

El uso de Excel, la respuesta es $\displaystyle \frac{5}{3}$, pero no sé donde está el problema.

Gracias!!

Answer 1

Sugerencia: Observe que $$ S = \sum_{i=0}^\infty \frac{2^{i+1}-1}{2^{2i}} $$ y distribuir.

Answer 2

Podemos patrón coincide esto con una diferencia de series geométricas. La suma en cuestión es $$\begin{align} 1 + \frac{3}{4} + \frac{7}{16} + \frac{15}{64} + \frac{31}{256} = 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{2^{k+1}-1}{4^{k}} \\ = 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{2^{k+1}}{4^{k}}-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^{k}}\end{align}$$ Ahora el uso de series geométricas...

Answer 3

Su respuesta parece ser la correcta. Vemos que Excel la respuesta es incorrecta añadiendo solo los 2 primeros términos de la serie, $1, \frac 34$ y vemos que $1.75>1.66..$, así que podemos ver que Excel la respuesta es errónea.

Answer 4

En primer lugar, tenga en cuenta que $S=\dfrac{2^1-1}{4^{1-1}} + \dfrac{2^2-1}{4^{2-1}}+ \dfrac{2^3-1}{4^{3-1}}+\dfrac{2^4-1}{4^{4-1}} + \dfrac{2^5-1}{4^{5-1}}+\ldots $

Así: $$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2^k-1}{4^{k-1}}?$$

$$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2^k}{4^{k-1}}-\dfrac{1}{4^{k-1}}$$ $$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{4}{2^k}-\dfrac{1}{4^{k-1}}$$ Y puede ir desde aquí.

Answer 5

Cuando escribe "el Uso de Excel, la respuesta es $\frac{5}{3}$", yo creo que lo que significa es que usted ha construido un modelo del problema en Excel que sugiere que la respuesta es $\frac{5}{3}$. El modelo en Excel de que el problema está mal (como el cálculo a mano de los primeros términos de la suma se muestra). Así que el problema está en el modelo en Excel. La depuración de la modelo en Excel es fuera de tema, para los MSE.