¿Cuál es la diferencia cualitativa en la información contenida por la curvatura de Gauss y el tensor de curvatura de Riemann en la Relatividad General?

Question

¿Cuál es la diferencia en la información contenida en la curvatura de Gauss y el tensor de curvatura de Riemann en la Relatividad General?
Nuestro profesor nos presentó estas dos cantidades y me preguntaba cuál es su diferencia cualitativa. Sé que una es un tensor mientras que la otra es un escalar, pero no acabo de encontrar su diferencia cualitativa y esto puede deberse a que no entiendo del todo qué representan exactamente ambas. Por supuesto, sé que representan la curvatura, pero no puedo evitar sentir que lo que representan puede enunciarse de una manera más precisa.

Así pues, en esencia pregunto qué representan esas cantidades (explicación cualitativa por medios cuantitativos) y cuáles son sus diferencias.

Answer 1

El tensor de curvatura de Riemann se define por:

$$R_{abc}{}^{d}\omega_{d} = \nabla_{[a}\nabla_{b]}\omega_{c}$$

para arbitraria $\omega_{a}$ . Si resuelves esto en términos de símbolos de Chistoffel (o mediante una prueba más sofisticada), descubrirás que tiene las siguientes simetrías:

$$R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc} = R_{cdab}$$

De aquí se deduce que, en dos dimensiones, sólo hay una componente independiente del tensor de Riemann. Esta componente es directamente proporcional a la curvatura gaussiana de la superficie bidimensional. En dimensiones superiores, la curvatura de Riemann amplía la curvatura de Gauss, pero se necesitan todas estas componentes adicionales porque:

1. es necesario definir dos direcciones para transportar paralelamente un vector para comparar los valores inicial y final
2. necesitas una dirección para el vector
3. por último, tiene una dirección para indicar la nueva dirección del vector después del transporte paralelo no comunicativo

En dos dimensiones, todo esto está resuelto, porque sólo hay un plano, pero en el caso general, se necesitan los cuatro componentes para que algo tenga sentido.

Answer 2

Otra forma de decir Respuesta de Jerry Schirmer "hacia atrás" que podría ayudarte es pensar primero en el tensor de curvatura de Riemann en un $N$ dimensional Riemannian / Lorentzian manifold $\mathscr{M}$ : en su generalidad, en el punto $p\in\mathscr{M}$ el tensor es una función bilineal matricial $R(X,\,Y)$ de dos vectores $X,\,Y\in T_p(\mathscr{M})$ en el espacio tangente de la variedad $T_p(\mathscr{M})$ . Los dos vectores $X,\,Y$ definir un paralelogramo "infinitessimal" en el colector definiendo los lados del paralelogramo. El tensor de Riemann escupe entonces un $N\times N$ matriz que te dice cómo un tercer vector $Z$ se transforma cuando este tercer vector es transportado paralelamente alrededor del bucle - es el mapa lineal el que define este cambio. Es decir, el cambio en $Z$ de transporte paralelo es $R(X,\,Y)\,Z$ .

Como dice Jerry, en dos dimensiones, el espacio tangente es un plano, por lo que el transporte paralelo debe ser una isometría bidimensional. En el espacio euclidiano 2D, esa isometría es una rotación - sólo hay una rotación posible y es alrededor de un eje normal al plano. En el espacio lorentziano 2D, la isometría es un impulso - pero la idea de isometría sigue prevaleciendo, por lo que la esencia básica de la noción no ha cambiado. La forma de la matriz $R$ es entonces:

$$R = \kappa\,\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$$

es decir una rotación infinitesimal (existe un $+1$ en posición $(1,2)$ en el caso lorentziano). La única incógnita que hay que especificar es el escalar $\kappa$ que define el grado de rotación del vector $Z$ obtenemos para un paralelogramo de área unitaria. Este escalar es la curvatura de Gauss para el colector bidimensional.