Ayer estuve en la tutoría de matemáticas, una de 18 años de edad, niña. Y ella me preguntó que para el siguiente problema: dado $P\in\Bbb R[X]_4$, es decir, $P$ un polinomio real de grado exactamente $4$, tal que:
- $P(1)=0$
- Tiene un pariente extremos en los puntos de $x=2,3$, cuyo valor es $3$.
calcular $P(4)$.
Ahora la segunda condición nos dice que $P'(2)=P'(3)=0$$P(2)=P(3)=3$. Así, en total he a $5$ condiciones lineales en el $5$ real de los coeficientes que definen $P$, una vez que se escribe como $$ P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. $$ I. e. Tengo un sistema lineal de $5$ ecuaciones en $5$ variables que tiene (siempre que las condiciones son todos independientes unos de otros) una solución: por lo tanto me gustaría han identificado de forma única a mi polinomio, por lo tanto yo podría calcular fácilmente $P(4)$ y la conclusión de mi ejercicio.
Mi problema es: que a esta chica no sabe matrices, la eliminación de Gauss y todos los álgebra lineal herramienta que ayuda a resolver rápidamente este tipo de problemas, por lo tanto, en orden a resolver este tipo de sistema debe hacer por subsitutions y así sucesivamente, lo cual es muy tedioso y no instructivo (a mí, al menos), y me parece raro que su profesor le dio un ejercicio a resolver.
Por otra parte, lo que se le pide es calcular los $P(4)$, NO para determinar el polinomio $P$.
Así que me pregunto: ¿hay otra manera de hacerlo? Una manera que evita todos los que el cálculo?
Traté de escribir $P$ $$ P(x)=a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $$ pero nada bueno salió. Alguna idea?
