Fuente del siguiente Problema:Prob. $19.(b).,$ Sección $13.2,$ del Álgebra Abstracta de Dummit y Foote (segunda edición).
Dejemos que $K$ sea una extensión de $F$ de grado $n.$ Demostrar que $K$ es isomorfo a un subcampo del anillo $M_n(F),$ así que $M_n(F)$ contiene una copia isomorfa de cada extensión de $F$ de grado $d \leq n.$
He demostrado que $K$ es isomorfo a un subcampo del anillo $M_n(F)$ . Me he quedado en la siguiente parte, aunque de mi pregunta anterior este está claro que siempre que $d | n$ es cierto. Pero
¿Es cierto que si $d<n$ y $d$ no divide $n.$
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Alguien me dijo que para Dummit & Foote un anillo no necesita tener un elemento neutro multiplicativo. Esta visión herética me ha impedido leer su libro. Pero aquí nos salva el día. Cuando tu "subring" no necesita compartir el elemento neutro, entonces puedes convertir $K$ en un conjunto de $d\times d$ matrices sobre $F$ . Y llenar esas matrices con un montón de ceros para convertir esas $d\times d$ matrices en las esquinas superiores izquierdas de $n\times n$ matrices.
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Por otro lado, si suponemos sensatamente que los anillos tienen una unidad, compartida por todos los subrings, entonces esto es posible sólo cuando $d$ es un factor de $n$ . Obsérvese que la incrustación $K$ en $M_n(F)$ de tal manera que $1_K$ se convierte en $I_n$ convierte el espacio vectorial $F^n$ también en un espacio vectorial sobre $K$ . Si un espacio vectorial $V$ en $K$ tiene dimensión $\ell$ entonces, cuando se ve como un espacio vectorial sobre $F$ tendrá la dimensión $d\ell$ . Así que $d\ell=n$ forzando $d$ para ser un factor de $n$ .
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A menos, por supuesto, que Dummit y Foote también dejen caer $1x=x$ de la lista de axiomas del espacio vectorial. Pero en ese caso todo el álgebra lineal se rompe, y nadie compraría su libro :-)