Estoy tratando de resolver el cúbicos. Tengo actualmente que, por $ax^3+bx^2+cx+d=0$, una sustitución para hacer de este monic. Dividiendo por $a$ da
$$x^3+Bx^2+Cx+D=0$$
donde $B=\frac{b}{a}, C=\frac{c}{a}, D=\frac{d}{a}$. Luego, con la sustitución de $x=y-\frac{B}{3}$, tengo
$$y^3+\left(C-\frac{B^2}{3}\right)y+\left(D-\frac{BC}{3}+\frac{2B^3}{27}\right)=0$$
Por lo tanto, para simplificar las cosas, me hizo la sustitución de $p=C-\frac{B^2}{3}$ $q=D-\frac{BC}{3}+\frac{2B^3}{27}$ tenemos el "deprimido cúbicos"
$$y^3+py+q=0$$
Ahora, usando la identidad,
$$(m+n)^3=3mn(m+n)+(m^3+n^3)$$
dejamos $y=m+n$. Esto luego se traduce a $p=-3mn,$ $q=-(m^3+n^3)$ y nos da un sistema de ecuaciones en $m$$n$. La solución para $n$ da $n=-\frac{p}{3m}$ y posterior sustitución de los rendimientos
$$q=-m^3+\frac{p}{3m}\qquad \Rightarrow \qquad m^6+qm^3-\frac{p^3}{27}=0$$ and now we can solve the quadratic for $m$;
$$m=\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}$$
y entonces eso significa que, por sustitución hacia atrás
$$n=-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}}$$
Entonces, yo creo que casi estoy aquí, porque ahora,
$$y=m+n=\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}}$$
Pero, ¿cómo puedo simplificar esta expresión? Sé que puedo volver sustituto del original $a,b,c,d$ y resolver para $x$. Pero esta suma parece complicado, y mi attepts para simplificar la suma no han funcionado.
