La simplificación de la Solución a la Cúbico

Question

Estoy tratando de resolver el cúbicos. Tengo actualmente que, por $ax^3+bx^2+cx+d=0$, una sustitución para hacer de este monic. Dividiendo por $a$ da

$$x^3+Bx^2+Cx+D=0$$

donde $B=\frac{b}{a}, C=\frac{c}{a}, D=\frac{d}{a}$. Luego, con la sustitución de $x=y-\frac{B}{3}$, tengo

$$y^3+\left(C-\frac{B^2}{3}\right)y+\left(D-\frac{BC}{3}+\frac{2B^3}{27}\right)=0$$

Por lo tanto, para simplificar las cosas, me hizo la sustitución de $p=C-\frac{B^2}{3}$ $q=D-\frac{BC}{3}+\frac{2B^3}{27}$ tenemos el "deprimido cúbicos"

$$y^3+py+q=0$$

Ahora, usando la identidad,

$$(m+n)^3=3mn(m+n)+(m^3+n^3)$$

dejamos $y=m+n$. Esto luego se traduce a $p=-3mn,$ $q=-(m^3+n^3)$ y nos da un sistema de ecuaciones en $m$$n$. La solución para $n$ da $n=-\frac{p}{3m}$ y posterior sustitución de los rendimientos

$$q=-m^3+\frac{p}{3m}\qquad \Rightarrow \qquad m^6+qm^3-\frac{p^3}{27}=0$$ and now we can solve the quadratic for $m$;

$$m=\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}$$

y entonces eso significa que, por sustitución hacia atrás

$$n=-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}}$$

Entonces, yo creo que casi estoy aquí, porque ahora,

$$y=m+n=\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}-\frac{p}{3\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^2}{27}}}{2}}}$$

Pero, ¿cómo puedo simplificar esta expresión? Sé que puedo volver sustituto del original $a,b,c,d$ y resolver para $x$. Pero esta suma parece complicado, y mi attepts para simplificar la suma no han funcionado.

Answer 1

Usted no puede. Esto es tan simple como usted puede conseguir, a menos que quieras volver a obtener la fórmula de Cardano, que es básicamente lo que tenemos.

Answer 2

$m=\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}}$

Permite elegir el positivo de la raíz para m.

$m=\sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}}$

y sabemos que esto resuelve:

$q=-(m^3+n^3)$

Por lo tanto, permite conectarlo en $m^3$

$q=\frac{q - \sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2} - n^3$

$n^3 = \frac{-q - \sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}$

Cual es el signo de volteado de otra raíz.

$y = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}}$

Una nota más

$m^3 = \frac{-q\pm\sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}$ tiene 2 raíces complejas que no debe ser olvidado.

$y = \omega \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}} + \omega\sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2-\frac{4p^2}{27}}}{2}}$

donde $\omega$ son las raíces de $(z^3-1 = 0)$

Answer 3

Para el cálculo de las raíces de la depresión cúbicos $$y^{\,3} + p\,y + q = 0$$ donde $p$ $q$ son reales o complejos, Yo personalmente adoptar un método indicado en este trabajo por A. Cauli, por lo que poner $$u = \sqrt[{3\,}]{{ - \frac{q} {2} + \sqrt {\frac{{p^{\,2} }} {4} + \frac{{p^{\,3} }} {{27}}} }}\quad v = - \frac{p} {{3\,u}}\quad \omega = e^{\,i\,\frac{{2\pi }} {3}}$$ donde por parte de los radicales de tomar un valor, real o el primer complejo (pero no importa cual) luego de calcular las tres soluciones como: $$y_{\,1} = u + v\quad y_{\,2} = \omega \,u + \frac{1} {\omega }\,v\quad y_{\,3} = \frac{1} {\omega }\,u + \omega \,v$$

También se refieren a este post y este otro.