¿Por qué el Teorema de Residuos sigue en pie, cuando dejo que mi contorno se haga infinitamente grande?

Question

El teorema (tal como lo conozco) sólo permite un conjunto finito de singularidades aisladas.

Integré, a lo largo de una caja cuadrada, una función que tiene polos simples en todos los números enteros que no son cero y un polo triple en el cero. Luego dejé que la caja se hiciera infinitamente grande para ayudar a probar que la suma de $1/n^2$ es $ \pi ^2 / 6$ .

¿Pero por qué se puede seguir aplicando el Teorema de Residuos, a pesar de que la caja se está haciendo infinitamente grande, y los polos se convertirán eventualmente en un conjunto infinito?

...sé que una caja es compacta, y los polos en los números enteros significa que este conjunto de polos es un conjunto discreto, por lo tanto el conjunto de polos en esta caja compacta ...es finito. Pero algo acerca de tomar el límite me está molestando.

Gracias,

Answer 1

Para reiterar y ampliar los comentarios: En realidad no estás haciendo un contorno infinitamente grande. En cambio, estás considerando una secuencia de contornos $(\gamma_{N})$ Cada uno de ellos encierra un número finito de polos. Para cada $N$ se utiliza el teorema del residuo para deducir una ecuación de la forma $$ a_{N} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma_{N}} f(z)\, dz = b_{N} + c_{N} + \cdots, $$ en el que $a_{N}$ es la suma de los residuos de los polos encerrados, y los términos de la derecha son contribuciones a la integral de porciones suaves del contorno.

A continuación, se centra en el igualdad temporal de secuencias $$ a_{N} = b_{N} + c_{N} + \cdots, $$ tomando el límite como $N \to \infty$ . Lo más probable es que hayas arreglado que $a_{N}$ converge a la suma de algunas series (como $\zeta(2)$ ) o pueden evaluarse explícitamente (por ejemplo, porque sólo hay un número finito de polos), y que los límites de las expresiones de la derecha pueden evaluarse (o son ellos mismos integrales de interst).

Al final, se tiene una evaluación útil de alguna cantidad, a menudo una integral impropia o la suma de una serie infinita.

En aras de la brevedad, se suele hablar del proceso como si hay un "contorno límite" que encierra todos los polos, pero técnicamente ese no es el razonamiento subyacente.