surjective inmersión $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ que no es un diffeomorphism

Question

¿Existe un surjective inmersión $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ que no es un diffeomorphism?

Traté de modificar $\exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ a ser surjective, pero me resulta difícil de preservar la propiedad de ser de inmersión.

También me di cuenta de que si reemplazamos $\mathbb{R}^2$ $S^2$ o cualquier otro compacto simplemente se conecta el colector, ninguna inmersión existe, porque entonces sería una cubierta mapa (como un local diffeomorphism de espacio compacto, lo correcto), pero dado que el colector se conecta simplemente, debe ser un diffeomorphism.

Answer 1

Aquí es una construcción explícita. Comience con el mapa de $f(z)=z^2+1$. Asigna el plano complejo en sí mismo, pero tiene un punto crítico en cero. Vamos a quitar en cero desde el dominio. El mapa es ahora un surjective inmersión, pero el dominio no está simplemente conectado. Por lo tanto, quitar un rayo partiendo del origen del dominio. Decir, el rayo de luz que consta de valor no positivo de todos los números reales. El mapa resultante es aún. Ahora, precomponer este mapa con un diffeomorphism desde el plano complejo para el plano complejo, menos el de ray. Que tu ejemplo. Ahora, pruebe a fondo similar mapa sobre toda la esfera de Riemann.

Edit 1: El ejemplo que he escrito arriba no funciona desde $f^{-1}(1)=0$. Aquí es un ejemplo correcto. Considere la función $f(z)=z^2(z-1)$. Tiene puntos críticos en$z=0$$z=2/3$. Ahora, retirar del dominio de la real intervalo de $[0, 2/3]$ así como el rayo $\{it: t\ge 0\}$ en el eje imaginario. Llame a la resultante de dominio $D$. Uno, a continuación, comprueba que el $f(D)={\mathbb C}$ (no es difícil, solo un poco tedioso). El dominio $D$ es simplemente conectado, por lo tanto, tomar un diffeomorphism $g: {\mathbb C}\to D$ y considerar la composición de la $h=f\circ g: {\mathbb C}\to {\mathbb C}$. Este mapa es surjective, localmente diffeomorphic pero no inyectiva. Personalmente, prefiero una descripción pictórica a tan explícitos en los mapas, tal descripción es dada en mis comentarios anteriores.

Otra observación: una Vez, casi me convencí de que un localmente inyectiva holomorphic mapa de $h$ de la unidad de disco $D$ a un simplemente conectado el dominio $G$ tiene que ser inyectiva. Aquí está el falso argumento de que yo tenía: Considerar la multivalor holomorphic mapa de $f=h^{-1}: G\to D$. Dado que el dominio de este mapa es simplemente conectado y que el mapa es localmente bien definido (aquí se utiliza el supuesto de que $h$ no tiene puntos críticos), la monodromy principio implica que $f$ tiene una bien definida rama de $g$, que luego será inverso a $h$. Por lo tanto, $h: D\to G$ es invertible. El error en este argumento fue que el multivalor mapa de $f$ no se obtiene a través de la continuación analítica a lo largo de las rutas; por lo tanto, la monodromy principio no se aplica a él.

Una cosa más: sería interesante dar un ejemplo de una función toda $f: {\mathbb C}\to {\mathbb C}$ que no tiene puntos críticos, es surjective y no inyectiva.

Edit 2: Ver este post en mathoverflow para la prueba de que la totalidad de la función de $f: {\mathbb C}\to {\mathbb C}$, $$ f(z)= z\int_0^e^{h(w)}dw,$$ donde $$ h(w)= (e^w -1)/w, $$
no tiene puntos críticos y se surjective.