El operador $T$ $x=(x_n)_{n=1}^\infty \in c_0$ $$ Tx=(x_1,x_1+x_2,x_1+x_3,\dots).$$ Mostrar que $T$ es un delimitada operador lineal entre el $c_0$ $c$ y calcular el $||T||$.
Es $T$ inyectiva, surjective?
En primer lugar me gustaría que usted tenga una mirada en mi respuesta a la segunda pregunta.
De hecho, es inyectiva como para cada uno de los dos $x$ $y$ las imágenes también son distintos: si $x_1 \ne y_1$ (posiblemente algunas otras coordenadas son diferentes), a continuación, $Tx$ seguramente difiere de $Ty$ en la primera coordenada y si $x_1=y_1$, y existen diferencias entre los dos, en algunos de los elementos $n \ge2$, $n$th coordenadas de $Tx$ $Ty$ no son iguales.
Como para surjectivity, creo que $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_1+x_n)=x_1+\lim_{n \rightarrow \infty}x_n=x_1$ y desde $x_1$ es un número arbitrario, a continuación, cada número puede ser obtenido como un límite, pero yo siento que me estoy perdiendo algo aquí.
Tan lejos como $||T||$ se destina, en primer lugar, echemos $ x=(1,1,0,0,0,\dots) \in c_0, ||x||=1$ y la definición de $||T||=\sup_{||x||=1}||Tx||$ rendimientos $||T|| \ge 2$. Por otro lado, $||Tx||=\sup_{n\ge2}\{|x_1|,|x_1+x_n|\} \le 2\sup_n|x_n|=2||x||$, por lo tanto $||T|| \le 2$. Todos en todos, $||T||=2$.
Agradecería cualquier comentario sobre la exactitud de mi solución.
