Por el characteric propiedad de la parte exterior del producto, existe un isomorfismo canónico de $\mathbb Z$- módulos \begin{equation}
\textrm{Hom}_\mathbb Z(\Lambda^2_\mathbb ZH_1(A,\mathbb Z),\mathbb Z)= Alt^2 _\mathbb Z(H_1(A,\mathbb Z),\mathbb Z)
\quad (1)\end{equation} Para un complejo de torus $A= V/\Lambda$ (donde $V$ es un complejo espacio vectorial y $\Lambda \subset V$ un completo entramado) hay un isomorfismo canónico $$H_1(A,\mathbb Z)=\Lambda \quad (0)$$ so that $(1)$ se convierte en \begin{equation}
\textrm{Hom}_\mathbb Z(\Lambda^2_\mathbb ZH_1(A,\mathbb Z),\mathbb Z)= Alt^2_\mathbb Z (\Lambda,\mathbb Z)
\quad (2)\end{equation}
y álgebra multilineal proporciona un isomorfismo $$Alt^2 (\Lambda ,\mathbb Z)=\wedge ^2 \check{\Lambda} \quad (3)$$ where we have used the notation $\compruebe {\Lambda }=Hom_\mathbb Z(\Lambda\mathbb Z)$
Por lo tanto $(2)$ se convierte en \begin{equation}
\textrm{Hom}(\Lambda^2_\mathbb ZH_1(A,\mathbb Z),\mathbb Z)= \wedge ^2 \check{\Lambda}
\quad (4)\end{equation}
De topología algebraica tenemos un isomorfismo $$ H^1(A,\mathbb Z)\stackrel {algtop} {=}Hom_\mathbb Z(H_1(A,\mathbb Z),\mathbb Z)\stackrel {(0)} {=} Hom_\mathbb Z(\Lambda,\mathbb Z)\stackrel {def} {=}\check {\Lambda } \quad (5)$$ which joined to Künneth's theorem permits to prove that the cup product $$\Lambda ^2_\mathbb Z \check {\Lambda } \stackrel {(5)}{=}\Lambda ^2_\mathbb Z H^1(A,\mathbb Z) \stackrel {cup}{\to }H^2(A,\mathbb Z) \quad (6)$$ es un isomorfismo.
De $(4)$ $(6)$ podemos obtener la canónica de isomorfismo de $\mathbb Z$- módulos \begin{equation}
\textrm{Hom}(\Lambda^2_\mathbb ZH_1(A,\mathbb Z),\mathbb Z)\cong H^2(A,\mathbb Z)\quad \text {(FINAL)}\end{equation}
