La motivación de Eisenstein, la Irreductibilidad Criterio

Question

Vamos $$f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$$ be a polynomial with integer coefficients. If there exist a prime number $p$ such that $$a_{n-1} \equiv a_{n-1} \equiv...\equiv a_0 \equiv 0 \pmod p$$ but $a_n \no\equiv 0 \pmod p $ and $a_0 \no\equiv 0 \pmod {p^2}$, then $f(x)$ es irreducible sobre el campo de los números racionales.

Entiendo el teorema y la prueba, su elegante y simple. Sin embargo, estoy teniendo problemas para comprender la motivación del teorema, yo simplemente no puede ver de dónde viene o cómo se obtiene la idea de formular el teorema. Alguien me puede ayudar con estos detalles?

Answer 1

He aquí una discusión informal basado en el $p$-ádico de la teoría. Considerar el polígono de Newton del polinomio $f$ en cuestión. Tiene un vértice en $(0,1)$ para el término constante, y en $(n,0)$ para los de mayor plazo. Así que hay un único segmento, de pendiente $-1/n$. En cualquier factorización $f=gh$, el factor de $g$, dicen de grado $d$$0<d<n$, tendrá algunas de las raíces de la $f$, de modo que todas valoración $1/n$, pero ¿cuáles serán los vértices de $g$? Estarían en$(d,0)$$(0,d/n)$, pero $d/n$ no es un entero, imposible.