bijective mapa continuo y la preimagen de una secuencia convergente

Question

En un principio, mi pregunta

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Deje $X,Y$ son de métrica espacios con $X$ compact también vamos a $T : X \to Y$ ser un bijective mapa continuo y $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ una secuencia de $Y$. Es cierto que el hecho siguiente? $$(y_n) \text{ convergent } \implies (T^{-1} y_n) \text{ Cauchy }$$

O, más en general? $$(y_n) \text{ Cauchy } \implies (T^{-1} y_n) \text{ Cauchy }$$

Es la suposición de que $X$ es un espacio compacto es necesario?

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Y ahora la historia detrás de

Me encontré con el siguiente problema sobre compact métrica espacios

Deje $X,Y$ son de métrica espacios y, además, $X$ es compacto, también vamos a $T : X \to Y$ ser un bijective mapa continuo.

Demostrar que $T^{-1}$ es continua

Soy consciente de la prueba por contradicción. Sin embargo, un tratado de hacer una prueba directa, pero me atoré.

mi intento

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El mapa de $T^{-1}$ es continua si para cada secuencia convergente $(y_n) \subseteq Y$,$\lim y_n=y$, se deduce que el $\lim T^{-1}y_n=T^{-1}y$

Deje $(y_n)$ ser una secuencia de $Y$ tal que $\lim y_n=y$

El hecho de que $X$ es compacto y $T$ continuo implica que hay una larga, $(T^{-1} y_{k_n})$ $(T^{-1}y_n)$ tal que $$\lim T^{-1} y_{k_n}=T^{-1} y$$

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Aquí es donde una se atascó.

Si, es una prueba de que $(T^{-1}y_n)$ es una secuencia de Cauchy.A continuación, el hecho de que tiene un convergentes larga implica que $(T^{-1}y_n)$ y, además, $\lim T^{-1} y_{k_n}=\lim T^{-1} y$

Gracias por su tiempo

Answer 1

La respuesta a ambas preguntas es "sí", y la suposición de que $X$ es compacto es necesario para ambos. Foobaz Juan ya ha dado una demostración elegante para la primera pregunta, pero aquí es otra: desde $X$ es compacto, es suficiente para mostrar que $T^{-1}y$ es el único punto límite de $\{T^{-1}y_n\}$ donde $y=\lim_{n\to\infty}y_n$. Pero si $T^{-1}y_{n_k}\to x_0$, por la continuidad de $T$ tenemos $y_{n_k}\to Tx_0$, lo $y=Tx_0$, es decir,$x_0=T^{-1}y$. Esto completa la prueba.

Para la segunda pregunta: desde $X$ es compacto y $Y=T(X)$, $T$ continuo, sabemos $Y$ es también compacto. En particular, $Y$ es completa, por lo $\{y_n\}$ Cauchy implica $\{y_n\}$ convergente. Ahora sólo se puede diferir a la primera pregunta.

Para ver la compacidad es necesario como una suposición, considere la posibilidad de $X=[0,1)$, $Y=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ y $T(x)=e^{2\pi i x}$. A continuación, $T$ es continua y bijective, sino $T^{-1}$ no es continua. Por otra parte, incluso si supiéramos $T^{-1}$ fue continuo, esto no necesariamente significaría $\{y_n\}$ Cauchy implica $\{T^{-1}y_n\}$ Cauchy; para que necesitamos el uniforme de continuidad (que es automático en espacios compactos, lo que proporciona otra prueba para la segunda pregunta).

Answer 2

Basta probar que el mapa de $T$ se cierra en fin de mostrar que la $T$ es un homeomoprhism. Para este fin, vamos a $E$ ser un subconjunto cerrado de $X$. Desde $X$ es compacto, se sigue que $E$ es compacto. Desde $T$ es continua, la imagen continua de un compacto es compacto y, por tanto, $T(E)$ es compacto. Pero compacto conjuntos son cerrados (desde $Y$ es un espacio métrico); por lo tanto, $T(E)$ es cerrado como se desee.

Para tu primera pregunta, ya que el $T:X\to Y$ es un homeomorphism (como hemos demostrado), se deduce que el $y_n\to y$ implica que el$T^{-1}(y_n)\to T^{-1}(y)$, de modo que $T^{-1}(y_n)$ es de Cauchy (como secuencias convergentes son claramente de cauchy). La segunda pregunta es similar desde $T(X)$ es compacto y por lo tanto completa. Por lo tanto si $\{y_n\}$ es de Cauchy en $Y$, entonces converge y podemos utilizar la respuesta de la pregunta anterior. La suposición de que $X$ es compacto, es necesario que existan continua bijective mapas que no son homeomorphisms (por ejemplo, el mapa de $f:[0,1)\to S^1$$f(x)=(\cos2\pi x,\sin 2\pi x)$.