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Es Frobenius' método útil en general?

Con respecto a la ecuación diferencial $$ y'' + p(z)y' + q(z)y = 0,\quad z\in\mathbb{C}, $$ podemos encontrar las soluciones de la forma $$ \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n, \quad c_n\in\mathbb{C}, $$ dado que el $p(z)$ $q(z)$ son analíticas en $z=z_0$. Aquí $|z-z_0|<R_1$ algunos $R_1>0$ deben tener. Supongamos $p(z)$ $q(z)$ no son analíticas en $z=z_0$, pero $(z-z_0)p(z)$$(z-z_0)^2 q(z)$, podemos encontrar soluciones de la forma $$ \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^{n+r}, \quad c_n\in\mathbb{C}, $$ donde $r$ satisface $r(r-1)+[zp(z)]_{z=z_0}r+[z^2q(z)]_{z=z_0}=0$. Aquí $|z-z_0|<R_2$ algunos $R_2>0$ deben tener. El último es Frobenius' método.

Ahora, para ilustrar mi pregunta supongamos $z_0=0$ es un punto singular de $p(z)$, pero no de $zp(z)$, por lo que nos gustaría aplicar Frobenius' método. A continuación, supongamos que resulta que $R_2$ es realmente pequeña. En mi entendimiento podríamos también han buscado soluciones en torno a algunos analítica punto. Supongamos $z_0=2$ es analítica, a continuación, te he buscado soluciones de la forma $\sum_{n=0}^\infty c_n (z-2)^n$ y, a continuación, tal vez el correspondiente $R_1$ resultó ser más satisfactoria.

Así que si lo que he dicho en el anterior es correcto, mi pregunta es: ¿se puede saber de antemano si la aplicación de Frobenius' método es útil?

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mathlover Puntos 461

Frobenius método funciona bien incluso en el caso de $x_0$ es un común punto de $p(x)$$q(x)$, donde estos son los coeficientes de $y"(x)+p(x)y'(x)+q(x)y=0$.

Específicamente,$p(x)=p_0+p_1.x+p_2.x^2+...$ $q(x)=q_0+q_1.x+q_2.x^2+.....$ tienen poder de la serie de expansiones como son analíticas.

En este caso, la serie de Frobenius de la forma con ($x_0=0$ dicen):

$y(x)=x^m(a_0+a_1.x+a_2.x^2+....)$ reduce a una potencia de la serie si $m=0$, lo cual es una raíz de la ecuación indicial $m(m-1)+p_0.m+q_0=0$.

Editar:- Aunque usted puede encontrar una potencia de solución de la serie en el barrio de $x_0=2$, pero la solución de $y(x)$ en el caso del intervalo de convergencia $\vert(x-2)\rvert<2$ o $0<x<4$ que no decirle el singular comportamiento de $y(x)$ cerca de $x=0$. Sin embargo, una serie de Frobenius solución funciona bien para que veas el comportamiento de la solución de $y(x)$$0\le x<\infty$.

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