Con respecto a la ecuación diferencial $$ y'' + p(z)y' + q(z)y = 0,\quad z\in\mathbb{C}, $$ podemos encontrar las soluciones de la forma $$ \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n, \quad c_n\in\mathbb{C}, $$ dado que el $p(z)$ $q(z)$ son analíticas en $z=z_0$. Aquí $|z-z_0|<R_1$ algunos $R_1>0$ deben tener. Supongamos $p(z)$ $q(z)$ no son analíticas en $z=z_0$, pero $(z-z_0)p(z)$$(z-z_0)^2 q(z)$, podemos encontrar soluciones de la forma $$ \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^{n+r}, \quad c_n\in\mathbb{C}, $$ donde $r$ satisface $r(r-1)+[zp(z)]_{z=z_0}r+[z^2q(z)]_{z=z_0}=0$. Aquí $|z-z_0|<R_2$ algunos $R_2>0$ deben tener. El último es Frobenius' método.
Ahora, para ilustrar mi pregunta supongamos $z_0=0$ es un punto singular de $p(z)$, pero no de $zp(z)$, por lo que nos gustaría aplicar Frobenius' método. A continuación, supongamos que resulta que $R_2$ es realmente pequeña. En mi entendimiento podríamos también han buscado soluciones en torno a algunos analítica punto. Supongamos $z_0=2$ es analítica, a continuación, te he buscado soluciones de la forma $\sum_{n=0}^\infty c_n (z-2)^n$ y, a continuación, tal vez el correspondiente $R_1$ resultó ser más satisfactoria.
Así que si lo que he dicho en el anterior es correcto, mi pregunta es: ¿se puede saber de antemano si la aplicación de Frobenius' método es útil?
