Las relaciones entre las raíces: ¿Cómo resolver un polinomio con una variable de segundo coeficiente?

Question

Estoy tratando de encontrar a todos los que las raíces del siguiente polinomio con una variable de segundo coeficiente: $$P(x)=4x^3-px^2+5x+6$$ De todas las raíces racionales, y $p$ es demasiado. Es también dado que la diferencia de 2 raíces es igual a la tercera, por ejemplo,$r-s=t$. Me gustaría resolver las raíces, utilizando las relaciones entre las raíces y las raíces racionales teorema.

Sé que a partir de las relaciones entre las raíces (Vieta de la fórmula) que $p/4=r+s+t$, la cual puede ser reducida a $p/4=2r$ por la ecuación anterior, y por lo tanto $p/8$ es una raíz. Sin embargo, no estoy seguro de dónde ir a partir de aquí, llevando a cabo la sustitución con el resto de coeficientes no dan nada de lo que me permite resolver una raíz o $p$. Por ejemplo, sabemos por el coeficiente de $x^0$ que $$5/4=rs+rt+st=rs+(r+s)(r-s)$$ pero no está claro de sustitución que se puede hacer aquí que pondría las cosas en términos de una variable.

¿Cómo puedo resolver para las raíces y $p$ mediante el uso de relaciones entre las raíces y las raíces racionales teorema de aquí? Gracias!

Answer 1

Desde $\frac p8$ es una raíz, se puede realizar la división larga en el polinomio y obtener $$4x^3-px^2+5x+6=\left(x-\frac p8\right)\left(4x^2-\frac p2x+5-\frac{p^2}{16}\right)$$ donde $$\left(5-\frac{p^2}{16}\right)\left(-\frac p8\right)=-\frac{5p}8+\frac{p^3}{128}=6$$ $$p^3-80p-768=0$$ Desde $p$ es racional, por el racional de la raíz teorema sólo tenemos que tratar los factores de 768. Resulta que $p=12$ es la única racional raíz real de la ecuación (las otras son $6\pm2\sqrt7i$), por lo que la única posibilidad de que el original cúbico es $$4x^3-12x^2+5x+6=4\left(x-\frac32\right)\left(x+\frac12\right)(x-2)$$ y sus raíces se $-\frac12,\frac32,2$. De hecho, la diferencia entre el $\frac32$ $-\frac12$ es de 2.

Answer 2

Resulta que en realidad era posible utilizar las relaciones entre las raíces aquí para ayudar factor de la ecuación, yo no estaba buscando lo suficiente.

Desde $r - s = t$,$r = s + t$. Como se ha mencionado, $\frac 54 = rs + st + rt = st + (s + t)^2$. Ahora, tanto en $st$ $s + t$ puede ser escrito en términos de $r$, desde

$$ -\frac 32 = rst $$

$$ -\frac 3{2r} = pt $$

y $s + t = r$. Así que sustituyendo los valores, obtenemos

$$ \frac 54 = -\frac 3{2r} + r^2 $$

$$ \frac 54 r = -\frac 32 + r^3 $$

$$ 0 = r^3 - \frac 54 r - \frac 32 $$

$$ 0 = 4r^3 - 5r - 6 $$

en el cual se puede usar la división sintética para resolver por $r$ (ya que todas las raíces racionales). A continuación, llegamos $r = \frac 32$ como una raíz, y factorizando $2x - 3$ y el uso de la fórmula cuadrática para resolver para el resto de las raíces, $s = -\frac 12$$t = 2$.