una estimación integral del libro de Stein, Singular Integral

Question

Estoy leyendo el libro de Stein Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de las funciones . En el texto (página 40), afirma que $$ \int_{|x|\geq 2|y|}\Big|\frac{1}{|x-y|^n}-\frac{1}{|x|^n}\Big| dx\leq C $$

donde $x,y\in \mathbb{R^n}$ y $C$ es una constante que sólo depende de la dimensión $n$ .

¿Podría explicarme cómo obtener esta estimación?

Gracias de antemano.

Answer 1

La estimación $\left|x\right|\geq2\left|y\right|$ implica $$ \left|x-y\right|\geq\left|x\right|-\left|y\right|\geq\frac{\left|x\right|}{2} $$ así como $\left|\left|x\right|-\left|x-y\right|\right|\leq\left|y\right|$ y por el teorema del valor medio, tenemos $$ \left|x\right|^{n}-\left|x-y\right|^{n}=n\cdot\left[\left|x\right|-\left|x-y\right|\right]\cdot\xi^{n-1} $$ para algunos $\xi$ entre $\left|x-y\right|$ y $\left|x\right|$ . En particular, $$0\leq\xi\leq\max\left\{ \left|x-y\right|,\left|x\right|\right\} \leq\left|x\right|+\left|y\right|\leq2\left|x\right|.$$ Así, $$ \left|\left|x\right|^{n}-\left|x-y\right|^{n}\right|\leq n\cdot\left(2\left|x\right|\right)^{n-1}\cdot\left|y\right|. $$ Esto lleva a

$$ \left|\frac{1}{\left|x-y\right|^{n}}-\frac{1}{\left|x\right|^{n}}\right|=\frac{\left|\left|x\right|^{n}-\left|x-y\right|^{n}\right|}{\left|x\right|^{n}\left|x-y\right|^{n}}\leq2^{n}n\cdot\left|y\right|\frac{\left|x\right|^{n-1}}{\left|x\right|^{2n}}=2^{n}n\cdot\left|y\right|\cdot\left|x\right|^{-n-1}. $$ Ahora calcula (utilizando la integración en coordenadas polares) \begin{eqnarray*} \int_{\left|x\right|\geq2\left|y\right|}\left|x\right|^{-n-1}\, dx & = & \int_{2\left|y\right|}^{\infty}r^{n-1}\int_{S^{n-1}}\left|r\xi\right|^{-n-1}\, d\xi\, dr\\ & = & C\cdot\int_{2\left|y\right|}^{\infty}r^{-2}\, dr\\ & = & \frac{C'}{\left|y\right|} \end{eqnarray*} y por lo tanto \begin{eqnarray*} \int_{\left|x\right|\geq2\left|y\right|}\left|\frac{1}{\left|x-y\right|^{n}}-\frac{1}{\left|x\right|^{n}}\right|\, dx & \leq & 2^{n}n\cdot\left|y\right|\cdot\int_{\left|x\right|\geq2\left|y\right|}\left|x\right|^{-n-1}\, dx\\ & \leq & \frac{2^{n}n\cdot C'}{\left|y\right|}\cdot\left|y\right|=C''. \end{eqnarray*}