El primer secuencia.

Question

Supongamos que tenemos $ p, q$ donde $ p$ e $q$ son dos números primos entre 6,10000. Ahora la siguiente secuencia $pq + 2$ genera el 22 números primos . Estos primos son todos en la clase de congruencia $ [1]_{100}$ me han pedido que demostrar por qué este es el caso. He pasado un buen rato pensando y no tengo ninguna idea de cómo empezar, incluso. Preguntaba si alguien me podría dar sólo una dirección, al menos, a seguir. Estaba considerando la noción de paridad como pq siempre va a ser extraño.

Saludos

Answer 1

Sugerencia: Considerar en los casos en que el producto de dos números primos (por encima de $5$) no termina en $3$ (que hacen su producto más el $2$ final en $5$).

Answer 2

El comentario por reuns contiene la clave de la respuesta. Él señala que el $p,p+2,p(p+2)+2$ siendo el primer implica que $p\equiv -1 \mod 5$. Pero considerar, además, que el si $p\equiv -1 \mod 5$, a continuación, $p+2\equiv 1 \mod 5$, lo que significa que el último dígito de la $p+2$ debe ser $1,6$. Pero si el dígito es $6$, a continuación, $p+2$ no es primo. Por lo tanto, tomar par/impar en cuenta, $p+2\equiv 1 \mod 10\Rightarrow p=10m-1$ e $p+2=10m+1$. Por lo tanto, $p(p+2)+2\equiv 1 \mod 100$ , mientras observa.

Answer 3

Miren los posibles restos de $\bmod 10$. El único caso en que $p, p+2, p(p+2)+2$ puede ser todos los números primos es $p\equiv 9\pmod {10} $ (de lo contrario no son factores de $2$ o $5$). Así que tenemos $p=10q+9$ y, a continuación,

$$p(p+2)+2 = (10q+9)(10q+11)+2 = 100q^2+200q+101$$

Por lo tanto, $p(p+2)+2 \equiv 1 \pmod {100}$

Answer 4

En lugar de considerar la paridad, usted puede ser que desee considerar la situación modulo $6$ a empezar.

Si nuestros tres primos se $p, p+2, p^2+2p+2$ tenemos $p\equiv -1 \bmod 6$ automáticamente y como se observó en un comentario en la pregunta es fácil comprobar que requerimos $p\equiv -1 \bmod 5$ para evitar la divisibilidad por $5$

Por tanto, tenemos $p\equiv -1 \bmod 30$ e $p(p+2)+2\equiv 1 \bmod 900$