Concentración de gas en una habitación (modelo simple)

Question

Versión completa y simplificada de la pregunta:

Tenemos una habitación cúbica abierta de volumen $V,$ abra en el sentido de que hay una fuente y un sumidero de gas conectados a la habitación.

Hay una afluencia constante (cantidad de sustancia por unidad de superficie por unidad de tiempo) $I_f$ de un gas $x$ (fuente), de forma similar un flujo de salida constante $O_f$ de $x$ . En resumen, la habitación está siendo llenada por el gas $x$ y desde el otro extremo una cierta cantidad (que no tiene por qué coincidir con la que había entrado) consigue salir de la habitación.

Último detalle, la sala se llena inicialmente de manera uniforme con un fluido $y$ con la concentración (cantidad de sustancia por unidad de volumen) $\rho_0.$ La fuente y el sumidero son impermeables a $y$ . Si este último detalle resulta complicar demasiado las cosas, podemos establecer $\rho_0=0$ y supongamos que la habitación está inicialmente vacía (es decir, en el vacío).

Condiciones iniciales: $\rho_x (t=0)=0$ y $\rho_y (t=0) = \rho_0 \neq 0.$ (Como ya se ha mencionado, para mayor simplicidad se puede suponer que $\rho_0 =0$ al principio). Caso sencillo : los flujos de entrada-salida son constantes con $I_f \ge O_f$ . Caso difícil los flujos de entrada-salida son proporcionales a la densidad media actual de x en el local, es decir $I_f\propto A_i \langle \rho_x(t) \rangle$ y $O_f \propto A_o \langle \rho_x(t)\rangle$ . Si he entendido bien, en este último caso las condiciones de contorno también dependen del tiempo. ¿Seguiría siendo manejable el problema?

Mi pregunta:

• En última instancia, estoy tratando de averiguar cómo puedo calcular el perfil de concentración del gas $x$ en la habitación en función del tiempo, dadas nuestras condiciones iniciales. Más concretamente, deduzco que tenemos que poner las cosas en marcha utilizando la ecuación de difusión $\frac{\partial \rho_x (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D\nabla^2 \rho_x (\mathbf{r},t).$ Pero, ¿cómo se tiene en cuenta la fuente+sumidero en la lhs? (¿también perturban las condiciones de contorno?)

• Entiendo que puede ser más práctico considerar primero el escenario de estado estacionario, es decir, el perfil de concentración $\rho_x$ ya no depende del tiempo. ¿Sería posible calcular este perfil de concentración límite? ¿Al menos para el caso simple?

• En realidad mi pregunta es a nivel conceptual y metodológico, ya que no sé muy bien de dónde partir para modelizar la concentración.

Entiendo que esto puede ser sólo dinámica de fluidos básica en el trabajo, pero realmente agradecería algunas pistas o aprender de ejemplos similares resueltos.

Por favor, indíqueme si la pregunta tal y como está formulada es demasiado vaga (por ejemplo, si es importante que el gas sea compresible o no).

Answer 1

Un modelo de flujo sencillo sería el siguiente:

El volumen contiene $x$ kg de gas, por lo que la densidad $\rho$ es $x/V$ con unidades $\mathrm{kg/m^3}$ . Ahora preguntamos por la tasa de cambio de $x$ la cantidad de kg dentro de la caja, por tiempo. Escribimos esto como

$$\frac{dx}{dt} =\text{stuff coming in}-\text{stuff going out} ,$$

donde deberían estar las unidades de la derecha $\mathrm{kg/s}$ .

Cuando hay una afluencia entonces una cierta cantidad " $I_f$ "de kg por segundo entran en la caja. Podemos expresarlo como

$$\text{stuff coming in}=I_f\cdot~\mathrm{\frac{kg}{s}}= \rho_i ~\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot Q_i~\mathrm{\frac{m^3}{s}}, $$

donde $\rho_i$ es la densidad del gas entrante y $Q_i$ es el caudal volumétrico del gas entrante. Las unidades son $\mathrm{kg/s}$ tal y como queremos.

Del mismo modo, la cantidad de gas que sale es la densidad del gas dentro de la caja multiplicada por el caudal volumétrico. $Q_o$ fuera de la caja:

$$\text{stuff going out}= O_f\cdot~\mathrm{\frac{kg}{s}}=\rho ~\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\cdot Q_o ~\mathrm{\frac{m^3}{s}}. $$

La densidad $\rho$ del gas dentro de la caja es, como se dijo anteriormente, $x/V$ por lo que finalmente podemos escribir (omitiendo las unidades):

$$\frac{dx}{dt}= \rho_i \cdot Q_i -\frac{x}{V} \cdot Q_o .$$

La solución es

$$x(t)=\frac{ Q_i }{Q_0}~\rho_i V+c_1e^{-\frac{Q_0}{V} \cdot t}, $$

donde la constante $c_1$ debe determinarse a partir de la condición de que la caja contenga $x_0$ kg de gas a $t=0$ . Si la sala está vacía al principio

$$x(t)=\frac{ Q_i }{Q_0}~\rho_i V~\left(1-e^{-\frac{Q_0}{V} \cdot t}\right), $$

lo cual tiene sentido: si los caudales de "salida" y "entrada" son iguales, al cabo de un tiempo suficiente la cantidad de gas en la caja será simplemente la densidad del gas entrante multiplicada por el volumen.

Answer 2

De tu pregunta me parece que el flujo de gas en el canal y a través de los agujeros está siendo creado por alguna agencia externa como una bomba. Si este es el caso, el flujo de masa en la habitación, del canal a los agujeros, no requiere que exista ningún gradiente de concentración en la habitación. El flujo es impulsado por un gradiente de presión. Por lo tanto, el conocimiento de las tasas de flujo por sí solo es insuficiente para decirle algo sobre el perfil de concentración (o incluso si existe en absoluto; lo mejor que puede hacer es calcular la concentración media de gas en la habitación utilizando el análisis de tipo control-volumen, como se muestra por @NoEigenvalue). Si existe un gradiente de concentración, significa que las condiciones termodinámicas no son uniformes en la sala. Si la presión en la sala puede suponerse constante, la variación de la concentración/densidad requiere que la temperatura no sea uniforme en la sala. Por tanto, también hay que analizar la ecuación de la energía, pero lo más probable es que las cosas se compliquen.

Answer 3

No necesitas la ecuación de difusión ya que sólo te interesa la variación temporal independientemente de la distribución espacial. Especialmente porque estás fijando el flujo de entrada y salida independientemente del área de superficie, lo que probablemente significa que estas áreas son iguales y entonces sólo importan las tasas de tiempo. Puesto que esas tasas de tiempo son constantes, no está claro si estás interesado en el perfil volumétrico, en cuyo caso la solución es un perfil lineal o plano con el tiempo.

Si desea una densidad resuelta espacialmente, debe proporcionar las áreas de entrada y salida, porque son importantes. Además, la velocidad del flujo de entrada/salida cambiará el tipo de difusión, que puede ir desde la difusión molecular, si es muy pequeña, hasta la turbulencia caótica si es muy rápida.

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Adición después de los comentarios a continuación

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Para resolver el problema, es necesario especificarlo más. Para que la ecuación propuesta sea aplicable

$$\frac{\partial \rho_x(r, t)}{\partial t} = D \nabla^2 \rho_x(r,t)$$

necesitamos equilibrio termodinámico. Esto significa que el gas y debe estar presente y su temperatura y presión deben coincidir con las del gas entrante/saliente en las fronteras.

Si esto no se cumple, la duffusion también será impulsada por gradientes de temperatura/presión. Tales efectos se expresarían mediante dependencias del coeficiente de difusión $D$ en coordenadas espaciales, y tendríamos que utilizar el sistema más expresión general

$$\frac{\partial \rho_x(r, t)}{\partial t} = \nabla ( D(\rho,t) \nabla \rho_x(r,t) )$$

Ahora, bajo los supuestos mencionados, se pueden tener los siguientes casos:

• Límites de entrada y salida de igual tamaño...

Entonces el problema es básicamente unidimensional ya que el perfil transversal no tiene diferencias y la ecuación queda así:

$$\frac{\partial \rho_x(z, t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 \rho_x(z,t)}{\partial z^2}$$

• Límites de entrada y salida de tamaño desigual...

Entonces el problema puede ser 2D en el espacio, si se pueden usar coordenadas cilíndricas porque el sistema es rotacionalmente simétrico donde se puede usar

$$\frac{\partial \rho_x(z, t)}{\partial t} = D (\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial \rho}{\partial r} ) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \rho}{\partial \phi ^2} + \frac{\partial^2 \rho_x(z,t)}{\partial z^2})$$

o si no, como en tu caso donde V es una caja, entonces a el sistema de coordenadas necesita ser elegido de acuerdo al problema.

Todas estas ecuaciones pueden resolverse definiendo correctamente las condiciones de contorno. Para el primer caso son simplemente $O_f$ y $I_f$ mientras que para la segunda, debe tener en cuenta la forma de los límites de entrada y salida.