¿Por qué es el d'Alembert del Principio formulado en términos de desplazamientos virtuales en lugar de verdaderos desplazamientos en el tiempo?

Question

¿Por qué es el d'Alembert del Principio formulado en términos de desplazamientos virtuales en lugar de verdaderos desplazamientos en el tiempo?

EDITAR En otras palabras, que el paso de la derivación de D'Alembert del principio (o Largrange de la ecuación) no funcionará si uno de los usos reales de los desplazamientos y por qué?

Answer 1

Debido a las limitaciones pueden dependa explícitamente del tiempo y real de los desplazamientos de tomar en cuenta esta dependencia, mientras que D'Alembert principio es "instantáneo".

Pensar en una lisa (sin fricción) de la curva de $\Gamma$ $$\Gamma : \vec{x}=\vec{x}(t,q)$$ whose form depends on time as stated in the formula above and a point of matter $P$ constrained to move along the curve. D'Alemebert principle says that, at fixed $t$, the virtual work of the reactive force $\vec{\phi}$ es cero para cada desplazamiento virtual $$\delta \vec{x}(t,q) = \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\bigg|_{t, q} \delta q\qquad \forall \delta q \in \mathbb R\tag{1}$$ cómo salir de cada punto definido por la coordenada $q$ a lo largo de la curva en cada tiempo fijo $t$: $$\vec{\phi}(t,q) \cdot \delta \vec{x}(t,q) =0 \qquad \forall \delta q \in \mathbb R\tag{2}$$ En realidad, esta afirmación es equivalente a decir que la fuerza reactivo es normal a la curva en cada tiempo fijo, es decir, la curva es suave: Desde $\delta \vec{x}(t,q)$ no es nada sino un genérico (como $\delta q$ es arbitrario) vector tangente a $\Gamma$ por tiempo determinado, (2) es equivalente a decir que el $\vec{\phi}(t,q)$ sólo puede tener componentes ortogonales de a $\Gamma$.

Un desplazamiento virtual (1) es un vector tangente a la curva en el dado de tiempo considerado, que es el primer orden de aproximación de un secante vectorial de la curva, con un lenguaje intuitivo, es un "desplazamiento infinitesimal". Sin embargo $\delta \vec{x}$ no puede ser considerado como una "infinitesimal real de desplazamiento" $\Delta \vec{x}$ de un punto limitado a permanecer en la curva, porque la verdadera desplazamientos pasado una cantidad de tiempo (hasta una cantidad infinitesimal de tiempo en este caso) y en ese periodo de tiempo la forma de la curva de cambios: $$\Delta \vec{x} = \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\bigg|_{t, q} \Delta q+ \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}\bigg|_{t, q} \Delta t\qquad \Delta q, \Delta t \in \mathbb R\:.\tag{1'}$$ Lo que usted necesita, en este caso para producir la de Euler-Lagrange las ecuaciones de $$\vec{f}+ \vec{\phi} = m \vec{a}\tag{3}$$ es (2), $$\vec{\phi} \cdot \frac{\partial x}{\partial q}\delta q =0 \qquad \forall \delta q \in \mathbb R$$ re-escrito en la forma equivalente (debido al hecho de que $\delta q$ es arbitrario), $$\vec{\phi}(t,q) \cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} =0 \tag{2'}\:.$$ es decir, a partir de (3), $$m \vec{a} \cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} = \vec{f} \cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\:,$$ que, a su vez, puede ser re-escrita como $$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial T}{\partial q} = Q$$ con $$Q = \vec{f} \cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} = - \frac{\partial U}{\partial q}\:,$$ al $\vec{f} = -\nabla_{\vec{x}} U(x(t,q))$ es conservador, dando lugar a $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q} = 0$$ cuando la definición de $L= T-U$.

Si usted reexpresado D'Alemebert principio de sustitución de desplazamientos virtuales para el real desplazamientos usted obtener $$\vec{\phi}(t,q) \cdot \Delta \vec{x}(t,q) =0 \qquad \forall \Delta q, \Delta t \in \mathbb R\:,$$ pero esta declaración no sería equivalente a (2') la prevención de uno de derivados E. L - ecuaciones. Sería en lugar equivalente a la mucho más fuerte de la demanda $$\vec{\phi}(t,q) \cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} =0 \quad\mbox{AND}\quad \vec{\phi}(t,q) \cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial t} =0\:.$$

Resumiendo, podemos decir que D'Alemebert principio es complicado (me desagrada) para el estado de las propiedades de las fuerzas reactivas a ser "ortogonal" a las restricciones en cada tiempo fijo (también si las limitaciones de los cambios en el tiempo). Esta noción de ortogonalidad es el estándar proporcionado a tratar con un único punto, pero es una generalización de la noción formulada en el $N$-puntos de espacio de configuración en caso de que tratar con $N>1$ limitado de puntos de con $n$ grados de libertad: $$\sum_{i=1}^n \vec{\phi}_i \cdot \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k}=0 \qquad k=1,\ldots, n$$ Esta noción generalizada es más débil que el estándar de la noción que se refiere cada punto por separado. Por ejemplo, abarca la rigidez de restricción: Las fuerzas reactivas de puntos limitados que se han fijado las distancias recíprocas satisfacer esa generalizada ortogonal requisito en el espacio de configuración del sistema.

Answer 2

Tal vez un simple ejemplo.

Ejemplo. En 2D considerar un punto de masa $m$ con la posición ${\bf r}=(x,y)$ que está restringido a moverse en una varilla vertical sin fricción, que a su vez ha pre-determinada posición horizontal $$x=f(t),\tag{1}$$ where $f$ is a given function of time $t$. In other words, eq. (1) is a holonomic constraint, and there is one generalized position coordinate $q\equiv y$, i.e. one degree of freedom. The constraint force ${\bf F}^{(c)}$ is horizontal. The virtual displacements $\delta p \equiv\delta y$ are by definition vertical with $\delta t=0$, leading to that the constraint force ${\bf F}^{(c)}$ does no virtual work$^1$ $$ {\bf F}^{(c)} \cdot \delta {\bf r}~=~0.\tag{2} $$ Sin embargo, si permitimos $\delta t\neq 0$, luego de eq. (2) ya no espera, y esto implica que ya no se puede derivar de d'Alembert del principio de la 2ª ley de Newton.

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$^1$Es tentador llamar eq. (2) el Principio de trabajo virtual, pero estrictamente hablando, el principio de trabajo virtual, es sólo el principio de d'Alembert para un sistema estático. Para d'Alembert principio, consulte también esta y esta relacionado con Phys.SE postes.

Answer 3

Considere un sistema en equilibrio (se puede considerar un sistema dinámico demasiado, el equilibrio de los sistemas son un poco más sencillo). La suma de las fuerzas sobre el sistema es cero, por Lo que el trabajo virtual realizado también es cero.

Pero, ¿por qué no es esto cierto para el mundo del trabajo?

Bien, la verdadera desplazamientos se producen en un tiempo de $\mathrm dt$, donde como virtual desplazamientos se producen en un instante de tiempo.

Así que el verdadero desplazamientos pueden causar las fuerzas aplicadas y las restricciones) a cambio en el tiempo de $\mathrm dt$, por lo que el sistema no esté en equilibrio, y el trabajo realizado no será cero.

Mientras que los desplazamientos virtuales no causa un cambio en las fuerzas ya que no hay cambio en el tiempo, como el virtual desplazamientos se producen en un instante. Así que el trabajo virtual realizado todavía sería cero.