La prueba de una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$

Question

Estoy trabajando en algunos matemáticas discretas problemas, y se han topado con un problema relacionado con la prueba de una relación de equivalencia.

La relación yo estoy con la tarea de probar es la relación $R$ definido en $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$: $$(a,b)R(c,d)\;\;\text{ if and only if}\;\;\; a+d = b+c.$ $

Entiendo que la clave básica de los componentes necesarios, como lo que se necesita para probar la reflexividad, simetría y transitividad, pero no sé cómo conectar la información anterior en estas reglas.

Por ejemplo, comenzando con probar la reflexividad, sé que debemos mostrar ese $(a,b)\in R$, pero no sé cómo hacer esto con las limitaciones de los $(a,b)R(c,d)$ si y sólo si $a+d = b+c$.

Answer 1

Sugerencia

$$a+d=b+c \Leftrightarrow a-b=c-d \,.$$

Ahora, demostrando que

$$(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a-b=c-d$$

es una relación de equivalencia es mucho más fácil.

P. S. Si usted sabe un poco de Teoría de grupos.

La relación de equivalencia es exactamente el estándar definido por el subgrupo $N=\{ (x,x)|x \in \mathbb Z \}$$\mathbb Z \times \mathbb Z$.

Answer 2

Utilizando la relación: $(a,b)R(c,d)$ si y sólo si $a+d = b+c$, es necesario determinar:

Reflexividad: es $(a, b) R (a, b)$ todos los $(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$?

I. e., para todos los $a, b \in \mathbb{Z},\;\;$$a + b = a + b$? Aquí $(a, b)$ está de pie en $(c, d)$.
Ya que para todos $a, b \in \mathbb{Z},\;\;(a + b) = (a + b),\;\;$ $R$ es el reflexivo.

Simetría: si $(a b) R (c, d)$ $(c, d) R (a, b)$ todos los $(a, b), (c, d) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$?

Esto es, para cualquier $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$: si $(a + d) = (b + c),\;$,$\;(c + b) = (d + a)$?
Si es así, entonces $R$ es simétrica.

Transitividad:
Si $\;\;(a, b) R (c, d)$ $(c, d) R (e, f),\;\;$ $\;\;(a, b) R (e, f)$ todos los $(a, b), (c, d), (e, f) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\;$?

Esto es, para cualquier $a, b, c, d, e, f \in \mathbb{Z}$ si $(a+d) = (b + c)$$(c + f) = (d + e)$, de lo anterior se sigue, entonces, que $(a + f) = (b+ e)\;$?
Si es así, entonces $R$ es transitiva.

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Si $R$ demuestra para satisfacer todas las propiedades anteriormente mencionadas, a continuación, como usted sabe, $R$ es una relación de equivalencia.

Answer 3

Para la reflexividad, usted necesita demostrar que para el caso de (a,b)R(a,b), el resultado de a+b = b+a es necesariamente verdadera, que es si el + es conmutativa.

Por simetría, muestran que (c,d)R(a,b) deben tener siempre que (a,b)R(c,d) se tiene:

(c,d)R(a,b) iff c+b = d+a

(a,b)R(c,d) si a+d = b+c

Suponiendo que le permite depender de la simetría de la = y conmutatividad de + en su uso común, se puede mostrar que estas dos declaraciones implican necesariamente el uno al otro.

Por transitividad, muestran que las dos declaraciones

(a,b)R(c,d) si a+d = b+c

(c,d)R(e,f) iff c+f = e+d

implica que

a+f = b+e

por lo tanto (a,b)R(e,f)