Cómo probar esto $(x,y)H\binom{x}{y}\ge p(x^2+y^2)$

Question

deje $H_{2\times 2}$ es positiva definida la matriz,

demostrar que:

Existen $p>0$, $$(x,y)H\binom{x}{y}\ge p(x^2+y^2)$$

Yo: vamos a $$H=\begin{bmatrix} a_{1}&a_{2}\\ b_{1}&b_{2} \end{bmatrix}$$ y tal $$|H|=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}>0$$ así $$(x,y)H\binom{x}{y}=(a_{1}x+b_{1}y,a_{2}x+b_{2}y)\binom{x}{y}=a_{1}x^2+b_{2}y^2+(a_{2}+b_{1})xy$$

entonces, ¿Cómo encontrar esta $p$, $$a_{1}x^2+b_{2}y^2+(a_{2}+b_{1})xy\ge p(x^2+y^2)$$

así que lo dejé $t=\dfrac{x}{y}$,luego $$p\le\dfrac{a_{1}t^2+b_{2}+(a_{2}+b_{1})t}{t^2+1}=y$$ entonces tenemos $$(a_{1}-y)t^2+(a_{2}+b_{1})t+b_{2}-y=0$$ así $$\Delta=(a_{2}+b_{1})^2-4(a_{1}-y)(b_{2}-y)\ge 0$$ $$\Longrightarrow \dfrac{a_{1}+b_{2}}{2}-\sqrt{\dfrac{(a_{2}+b_{1})^2}{4}+\dfrac{(a_{1}-b_{2})^2}{4}}\le y\le \dfrac{a_{1}+b_{2}}{2}+\sqrt{\dfrac{(a_{2}+b_{1})^2}{4}+\dfrac{(a_{1}-b_{2})^2}{4}}$$ por lo tanto,Hay existir $p \in[I_{1},I_{2}]$ donde $$I_{1}= \dfrac{a_{1}+b_{2}}{2}-\sqrt{\dfrac{(a_{2}+b_{1})^2}{4}+\dfrac{(a_{1}-b_{2})^2}{4}},I_{2}= \dfrac{a_{1}+b_{2}}{2}+\sqrt{\dfrac{(a_{2}+b_{1})^2}{4}+\dfrac{(a_{1}-b_{2})^2}{4}}$$

Answer 1

Deje $v=[x,y]^T$ $H$ tiene el eigen descomposición $H=P^TDP$ donde $D$ $2\times 2$ matriz diagonal con los valores propios $\lambda_1,\lambda_2$ como las entradas de su diagonal. Deje $\lambda_1\geq \lambda_2$. Definir $y=Pv=[y_1,y_2]^T$. Entonces \begin{align} v^THv=v^TP^TDPv=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2\geq \lambda_2(y_1^2+y_2^2)=\lambda_2(x^2+y^2) \end{align} Convencerse de que $y_1^2+y_2^2=x^2+y^2$. Compruebe también si tenéis algo en la misma línea para cualquier $N\times N$ positiva definida la matriz.

Answer 2

La hipótesis de que la $H$ es positiva definida significa que para todos los distinto de cero $v= (x, y)^T \in \Bbb R^2$ tenemos $\langle v, Hv \rangle > 0$. En particular, $\langle v, Hv \rangle > 0$ todos los $v$ satisfacción $\Vert v \Vert = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$, es decir, la función de $\langle v, Hv \rangle > 0$ es positivo en el círculo unidad en $\Bbb R^2$. Desde este círculo es compacto y la función de $v \to \langle v, Hv \rangle > 0$ es continua, $v \to \langle v, Hv \rangle > 0$ realmente alcanza su valor mínimo (en el círculo). Deje $p$ denotar este valor. Claramente, $p > 0$ o de lo contrario el vector unitario $v_0$ tal que $\langle v_0, Hv_0 \rangle = p$ satisfacer $\langle v_0, Hv_0 \rangle = 0$, contradiciendo el positivo de la definición de $H$. Por tanto, para cada vector unitario $u$, $\langle u, Hu \rangle \ge p$. Si $v$ es cualquier vector distinto de cero, el conjunto de $u = v / \Vert v \Vert$. A continuación,$\langle v / \Vert v \Vert, H v / \Vert v \Vert \rangle \ge p$. Pero esto implica $\langle v, Hv \rangle \ge p \Vert v \Vert^2$, como era necesario. QED

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!