Deje $\omega = e^{\frac{\pi}{2N}i}$ ser la primitiva $4N^{th}$ raíz de la unidad y de la $$\Lambda = \bigg\{\; \omega^{2k-1} : -N < k \le N \;\bigg\} = \bigg\{\; \omega^{\pm(2k-1)} : 1 \le k \le N \;\bigg\}$$ be the set of roots for the polynomial $z^{2N} + 1 = 0$.
Para cualquier entero $k$, vamos a $c_k = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2N}\right) = \frac{\omega^{2k-1} + \omega^{1-2k}}{2}$. Aviso
$$\frac{1-z}{(1+z)(5+3z)^2} = \frac12\left(\frac{1}{1+z}\right)
- \frac12\left(\frac{1}{\frac53 + z}\right) -\frac49\left(\frac{1}{\frac53 + z}\right)^2
$$
Podemos simplificar nuestra suma como
$$F(N) = \frac12 f(1) - \frac12 f\left(\frac53\right) + \frac49 f'\left(\frac53\right)
\quad\text{ donde }\quad
f(\alpha) = \sum\limits_{k=1}^N \frac{1}{\alpha + c_k}
$$
Para cualquier $\alpha > 1$, vamos a $\beta = \alpha + \sqrt{\alpha^2 - 1}$,$\displaystyle\;\alpha = \frac{\beta + \beta^{-1}}{2}$.
Desde $c_k = c_{1-k}$, tenemos
$$\begin{align}
f(\alpha)
&= \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\alpha + c_k}
= \frac12 \sum_{k=-N+1}^N \frac{1}{\alpha + c_k}
= \frac12\sum_{\lambda \in \Lambda}\frac{1}{\frac{\beta + \beta^{-1}}{2} + \frac{\lambda + \lambda^{-1}}{2}}\\
&= \sum_{\lambda \in \Lambda}\frac{\lambda}{(\lambda+\beta)(\lambda+\beta^{-1})}
= \frac{1}{\beta-\beta^{-1}}\sum_{\lambda\in\Lambda}\left(\frac{\beta}{\lambda+\beta} - \frac{\beta^{-1}}{\lambda+\beta^{-1}}\right)
\end{align}
$$
Aviso de $\lambda \in \Lambda \iff -\lambda \in \Lambda$ y tomando logaritmo derivados, tenemos
$$\prod_{\lambda\en\Lambda} (z + \lambda) =
\prod_{\lambda\en\lambda}(z - \lambda) =
z^{2N} + 1
\quad\implica\quad \sum_{\lambda\en\Lambda} \frac{z}{\lambda + z} = \frac{2N z^{2N}}{z^{2N}+1}$$
Esto lleva a
$$f(\alpha) = \frac{2N}{\beta\beta^{-1}}\left(\frac{\beta^{2N} - 1}{\beta^{2N} + 1}\right)
$$
Aviso de $f(\alpha)$ es continua en a $\alpha = 1$. Nos encontramos
$$f(1) = \lim_{\alpha\to 1}f(\alpha) = \lim_{\beta\to 1}f(\alpha) = \frac{2N}{2}\left(\frac{2N}{2}\right) = N^2$$
Esta expresión para $f'(\alpha)$ es bastante desordenado. Si yo no cometí ningún error,
es
$$\begin{align}
f'(\alpha) &= \frac{d\beta}{d\alpha}\frac{df(\alpha)}{d\beta}
= \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2-1}} \frac{d\log f(\alpha)}{d\beta} f(\alpha)\\
&= \frac{4N}{(\beta-\beta^{-1})^2}\left(-\frac{\beta+\beta^{-1}}{\beta - \beta^{-1}} + \frac{4N\beta^{2N}}{\beta^{4N}-1}\right)\left(\frac{\beta^{2N} - 1}{\beta^{2N} + 1}\right)\end{align}$$
Para el problema en cuestión, necesitamos $f(\alpha)$ $f'(\alpha)$ $\alpha = \frac53$ que es equivalente a $\beta = 3$.
Lanzar la función de $f(\alpha)$ $f'(\alpha)$ a un CAS y pedir a simplificar el lío en $\beta = 3$, obtenemos
$$\begin{align}
F(N) &= \frac12 N^2 - \frac{3N}{8}\left(\frac{9^N-1}{9^N+1}\right)
-\frac{N \left( 5\cdot 9^{2N}-16N\cdot 9^N-5\right)}{16\left( 9^N+1\right)^2}\\
&= \frac{(8N-11)N}{16}+\frac{N((8N+11)9^N + 11)}{8(9^N+1)^2}
\end{align}
$$
En particular, el primer par de valores de $F(N)$
$$\frac{1}{25},\frac{1188}{1681},\frac{327129}{133225},\frac{56551312}{0764961},\frac{316019361}{34869025},\frac{979687020612}{70607649841},\ldots$$
Como una doble verificación, se han calculado los valores de estos $F(N)$ numéricamente utilizando la expresión original y que corresponden a lo $50$ decimales.
