deje $G$ ser un número finito de abelian grupo que contiene un subgrupo $H_{0}\neq (e)$ que se encuentra en cada subgrupo $H\neq(e)$, demuestran que, a $G$ es cíclico. ¿cuál es el orden de $G$? yo trate de solucionar este problema, pero no puedo terminar..amablemente me ayude, o dar cualquier otra solución. Yo intento, ya que $G$ es finito abelian grupo, por lo que es isomorfo producto directo de su subgrupo de sylow, $G\thickapprox S(P_{1})*S(P_{2}*)....S(P_{k})$ desde $H_{0}\subset S(P_{i})$ $S(P_{i})\cap S(P_{j})= \phi$ este imlies $k=1$ es decir $G\thickapprox S(P_{1})$, a partir de aquí cómo llego a la conclusión de $G$ es cíclico?
Respuestas
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Tomas Dabasinskas
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41
En realidad la intersección de dos distintos subgrupos de Sylow es $\{e\}$ más que el conjunto vacío. De un número finito de abelian grupo es un producto cíclico de los grupos. Si hay más de un grupo en el producto, usted consigue un par de subgrupos con trivial intersección $\{e\}$, y, por tanto, que no podía contener $H$, dando la necesaria contradicción.
Davem M
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71
Aquí es una prueba de que sólo utiliza el Sylow de descomposición, no la descomposición en grupos cíclicos. Su argumento nos reduce al caso de que $G$ orden $p^n$ para algunos prime $p$. Deje $x$ ser un elemento de máxima para, por ejemplo de orden de $p^n$. A continuación, $H_0$ debe ser el grupo generado por $p^{n-1}x$, ya que sólo puede haber una orden de $p$ subgrupo. Ahora vamos a $y$ ser algún elemento no en el subgrupo generado por a $x$ de orden mínimo, decir $p^m$. A continuación, debe haber alguna $0 < k < p$$p^{m-1}y = kp^{n-1}x$. A continuación,$p^{m-1}(y - kp^{n-m}x) = p^{m-1}y - kp^{m-1}x = 0$. Puesto que el orden de $y - kp^{n-m}x$ es menor que $m$, minimality da $y - kp^{n-m}x \in \langle x \rangle$. Por lo $y \in \langle x \rangle$. Por lo $G$ es cíclico.
