¿Cómo abordar esta secuencia? (teoría elemental de los números)

Question

Dada es la siguiente secuencia: $a_1 = 1$ y $a_n$ es igual al mayor divisor primo de $1+ a_1*\dots*a_{n-1}$ . A continuación, se afirma: $11$ no se produce en esta secuencia.

¿Cómo se puede abordar este problema? Primero pensé en intentar una prueba por contradicción. Se trata entonces de $a_m$ la primera aparición de $11$ en esta secuencia. Entonces existe $a,b,c,d, e \in \mathbb{N_0}$ tal que: $2^a * 3^b * 5^c * 7^d * 11^e = 1+ a_1*\dots*a_{m-1}$ .

Sin embargo, a partir de ahí me parece un callejón sin salida. Parece que me falta una observación clave. Me encantaría que alguien con más conocimientos pudiera ofrecerme un consejo/sugerencia sobre cómo empezar aquí.

EDIT: Relacionado: Secuencia de Euclides Mullin

Answer 1

Nota: Personalmente, encuentro mi solución demasiado corta y "demasiado fácil" para ser una solución a este problema. Por lo tanto, siéntase libre de hacer una nota o comentario, cuando hay un error.

Yo "solucionaría" este problema concreto expuesto anteriormente de la siguiente manera:

Los primeros elementos de la secuencia pueden calcularse con bastante rapidez: $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 7, a_4 = 43, a_5 = 139$

Ahora, siguiendo el consejo de lulu, demostramos que un número primo aparece como máximo dos veces en esta secuencia.

Dado que $a_n = 1+a_1 * \dots * a_{n-1}$ se deduce que $a_n \equiv 1\pmod {a_i}$ para $1 \le i \le n-1$ Por lo tanto, no hay $a_i$ con $a_i| a_n$ $\Rightarrow a_i \neq a_n \ \forall i$ con: $\ 1\le i \le n-1$

Ahora: Deja que $a_n = 11$ y $b_n = 1+ a_1* \dots \ * a_{n-1}$ entonces por definición $11|b_n$ y si $k|b_n$ y $k \neq 11$ entonces $k = 1 \lor k= 5$ en particular: $2,3,7 \nmid b_n$ $\Rightarrow b_n \le 55$ pero..: $\frac{b_n}{55} \ge \frac{a_1 * \dots * a_5 +1}{55} \gt 1 \Rightarrow$ $b_n$ tiene al menos un factor primo mayor que $11$ Así que..: $11$ no puede ocurrir en esta secuencia.

EDIT: Demostrar que no ocurre en la secuencia se puede hacer rápidamente: Si 5 ocurrió, entonces tuvimos para algunos $b_n = 2^a * 3^b * 5^c = 1+2* \dots * a_{n-1}$ .

$a,b$ debe ser igual a $0$ . Si no lo fueran, entonces $2^a * 3^b * 5^c \equiv 0 \pmod {2,3}$ pero $b_n \equiv 1 \pmod {2,3}$

Así, $b_n$ sería de la forma $b_n = 5^c$ para algunos $c$ sin embargo: $5^c - 1 \equiv 0 \pmod 4 \forall \ c \in \mathbb{N}$ y $a_1* \dots \ * a_{n-1} \equiv 2 \pmod 4$

Así, $5$ no puede ocurrir en la secuencia.

Sin embargo, aún queda camino por recorrer para demostrar $11$ no se produce y, de hecho, no veo cómo se podría hacer eso. El mismo argumento/truco, utilizado para $5$ no parece funcionar.

EDIT2 : $5^a * 11 ^b \equiv 3 \pmod 4$ como $2 | a_1 * \dots* a_{n-1}$ $\Rightarrow 1^a * 3^b \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow b$ es impar.

$3 | 5^a * 11^b -1 \Rightarrow (-1)^a *(-11)^b \equiv (-1)^{a+b} -1 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow a+b$ incluso $\Rightarrow a$ también es impar.

Entonces: $7 | 5^a * 11^b -1 \Rightarrow (-2)^a * 4^b \equiv (-2)^{a+2*b} \equiv 1 \pmod 7$

Sin embargo, este es sólo el caso: si $a+2*b$ es un múltiplo de $6$ (Pequeño Fermat), lo que no puede ser el caso. Por lo tanto: $11$ no puede ocurrir en la serie y hemos terminado. Todo un viaje en los últimos días, pero creo que la prueba está ahora completa.