¿Cómo puedo probar$$\lim_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{\Lambda(k)}{k}-\ln(n)=-\gamma $$
Donde $\Lambda(k)$ es el Von Mangoldt función, y gamma es la gamma de euler constante
Respuestas
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user21783
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Xavier Gourdon y Pascal Sebah (en $3.3$ de "Colección de fórmulas de Euler constante $\gamma$") proponer el uso de esta fórmula: $$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{k\ge1}\frac {\Lambda(k)}{k^s},\quad s>1$$
que reescribir como : $$\zeta(s)+\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{k\ge1}\frac {\Lambda(k)-1}{k^s},\quad s>1$$ antes de tomar los límites de $s\to 1$ y la deducción : $$2\,\gamma=-\sum_{k\ge1}\frac {\Lambda(k)-1}k$$ (la existencia de límite en el que el derecho podría ser cuestionable...)
El límite a la izquierda, de hecho puede ser obtenido usando (por $|\epsilon|\ll 1$ $\gamma_1$ un Stieltjes constante) :
- $\displaystyle \zeta(1+\epsilon)=\frac 1{\epsilon}+\gamma-\gamma_1 \,\epsilon+O(\epsilon^2)\ $ y
- $\displaystyle \zeta'(1+\epsilon)=-\frac 1{\epsilon^2}-\gamma_1+O(\epsilon)$
de modo que $\ \displaystyle \frac{\zeta'(1+\epsilon)}{\zeta(1+\epsilon)}=-\frac 1{\epsilon}\frac{1+\gamma_1\,\epsilon^2}{1+\gamma\,\epsilon}+O(\epsilon)=-\frac 1{\epsilon}+\gamma+O(\epsilon)\ $
y $\ \displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \zeta(s)+\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=2\gamma\ $ como se requiere.
Para llegar a su límite, se va a necesitar el adicional de la definición de $\gamma$ : $$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(-\log(n)+\sum_{k=1}^n\frac 1k\right)$$ reescribir el límite anterior como : $$-2\,\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac {\Lambda(k)-1}k\right)$$ combinando estos dos resultados a la conclusión de : $$-\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(-\log(n)+\sum_{k=1}^n\frac {\Lambda(k)}k\right)$$
user8269
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46
Si usted puede demostrar $$\sum_{n\le x}\log n=x\log x+O(x)$$ and $$\sum_{n\le x}\log n=\sum_{n\le x}[x/n]\Lambda(n)$$ then you can get $$\sum_{n\le x}{\Lambda(n)\over n}=\log x+O(1)$$ lo que no es tan fuerte como lo que quieras, pero está en el mismo estadio. Esta es la esencia de Hardy & Wright Teorema 424 (6ª edición).
