Sobre la inyección $M \hookrightarrow \mathbb Q \otimes_{\mathbb Z} M$ .

Question

Quiero demostrar que todo grupo abeliano puede estar incrustado en un grupo abeliano divisible.

Así que intenté $M \rightarrow \mathbb Q \otimes_{\mathbb Z} M, m \mapsto 1 \otimes m$ . Es evidente que $\mathbb Q \otimes_{\mathbb Z} M$ es divisible, por lo que sólo tengo que demostrar que es una inyección de hecho, es decir $1 \otimes m = 0 \implies m = 0$ . Así que busco un $\mathbb Z$ -mapa bilineal $\mathbb Q \times M \to N$ con $N$ un grupo abeliano tal que la imagen de $(1,m)$ es cero sólo para $m=0$ .

El único $N$ Se me ocurre la siguiente: tomar el $\mathbb Q$ -módulo libre (en realidad espacio vectorial libre) con base $M$ y el cociente por el núcleo de la $\mathbb Z$ -morfismo de módulo $$\mathbb Z[M] \twoheadrightarrow M, \sum k_m \cdot m \mapsto \sum k_mm,$$ y considerar el cociente como $\mathbb Z$ -módulo. Entonces, el mapa bilineal $(r,m) \mapsto \overline{r \cdot m}$ es como queremos : $\overline{1 \cdot m} = 0$ implica $m = 0$ en $M$ .

Pero me parece que lo construido $N$ es en realidad $\mathbb Q \otimes_{\mathbb Z} M$ ... Me dice que probablemente podría ver directamente que $1 \otimes m$ no es cero para $m \neq 0$ . ¿Cómo?

Answer 1

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, $S \subset R$ un subconjunto cerrado multiplicativamente, y $M$ un $R$ -módulo. Es un hecho estándar -que tiene una prueba corta y directa a partir de la definición- que el núcleo del mapa de localización $M \rightarrow S^{-1} M$ , $x \mapsto \frac{x}{1}$ es el conjunto de $m \in M$ tal que $sm = 0$ para algunos $s \in S$ . (Por ejemplo, este es el ejercicio 7.8 en mis apuntes de álgebra conmutativa .)

Aplicando esto con $R = \mathbb{Z}$ y $S = \mathbb{Z}^{\bullet} = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ muestra que para un $\mathbb{Z}$ -Módulo $M$ ,

$\operatorname{Ker}(M \rightarrow M \otimes \mathbb{Q}) = M[\operatorname{tors}]$ .

[Obsérvese que lo mismo ocurre con cualquier dominio integral $R$ con el campo de la fracción $K = (R^{\bullet})^{-1} R$ : $\operatorname{Ker}(M \rightarrow M \otimes_R K) = M[\operatorname{tors}]$ .]

En particular, este mapa es una inyección si $M$ es libre de torsión, así que en general esto no funcionará para incrustar un $\mathbb{Z}$ -en un módulo divisible. Para ello, uno puede hacer cualquiera de los dos argumentos siguientes:

1) Definir el Pontrjagin dual $\mathbb{Z}$ -Módulo $M^* = \operatorname{Hom}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ y demostrar que el mapa natural $M \hookrightarrow M^{* *}$ es una inyección, y luego proceder como en la respuesta de Quimey.

2) Argumentar un poco más directamente: escribir $M = F/K$ con $F$ un grupo abeliano libre. Dado que $F$ es libre de torsión, el mapa $F \rightarrow F \otimes \mathbb{Q}$ es una inyección, por lo que $M$ se incrusta en $(F \otimes \mathbb{Q})/K$ . Este último es el cociente de un módulo divisible, por tanto divisible (por tanto inyectivo, ya que $\mathbb{Z}$ es un PID). Esta parece ser la solución correcta que más se aproxima al tipo de argumento que intentas exponer.

Answer 2

Si $M$ es un módulo de torsión, entonces $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}M=0$ :

Supongamos que existe $n\in\mathbb{Z}$ tal que $nm=0$ para todos $m\in M$ . Tenemos $1\otimes m= \frac{n}{n}\otimes m = \frac{1}{n}\otimes nm=0$ .

El truco habitual es incrustar $M$ en $\hom_\mathbb{Z}(N,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ , para que sea adecuado $N$ . Esto se hace, por ejemplo, en el Álgebra de Lang (Tercera edición), Thm 4.1, Capítulo XX.

Dejemos que $M^*=\hom_\mathbb{Z}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ . La idea es mostrar primero que el mapa natural $M\to M^{**}$ es una inyección. Ahora, toma una proyección $F\to M^*$ con $F$ abeliana libre. Aplicando $(-)^*$ , obtenemos una inyección $M^{**}\to F^*$ (es fácil ver que $F^*$ es inyectiva). Si componemos esta inyección con $M\to M^{**}$ obtenemos la inyección deseada.