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Integración por sustitución notación pregunta

A menudo con la integración por sustitución veo (y uso) de la notación $ x \to \frac{\pi}{2} - x $, por la sencilla razón de que no tengo que cambiar el nombre de la variable que estoy integrando con respecto a, pero recientemente esta notación no me ha llevado a confundir, en el sentido de que no estoy seguro de entender correctamente.

Por ejemplo, con la integral de la $$ \int^{2\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx $$

Procedí de la siguiente manera.

Primero que se nota, que previamente me han demostrado que $\int^{\pi}_{0} \frac{x \sin x}{3+\sin^2 x} \ dx =\frac{\pi}{2}\int^{\pi}_{0} \frac{\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \frac{\pi}{4}\ln 3 $

Volviendo a la integral $$ \int^{2\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx + \int^{2\pi}_{\pi} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx $$

Ahora en la segunda integral sustituto $ x \to x - \pi $, entonces tenemos

$$\int^{2\pi}_{\pi} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{\pi}_{0} \frac{(x - \pi)(-\sin x)}{3+\sin^2 x} \ dx= -\int^{\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x}\ dx + \int^{\pi}_{0} \frac{\pi \sin x}{3+\sin^2 x}\ dx $$

Esto significa que

$$ \int^{2\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{\pi}_{0} \frac{\pi \sin x}{3+\sin^2 x}\ dx = \frac{\pi}{2} \ln 3 $$ por el resultado inicial.

Esto es incorrecto; la respuesta debe ser $ - \frac{\pi}{2} \ln 3 $, pero no veo mi error. Creo que un error puede haber surgido con mi sustitución, por lo que agradecería si alguien podría señalar dónde está el error y por qué está mal.

Además, no estaba seguro de cómo, a fin de que esta pregunta, pero espero que el título que he elegido es el adecuado.

4voto

Renan Puntos 6004

Al hacer la sustitución de $ x \to x - \pi $, entonces usted no lo tiene

$$\int^{2\pi}_{\pi} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{\pi}_{0} \frac{\color{red}{(x+ \pi)}(-\sin x)}{3+\sin^2 x} \ dx= -\int^{\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x}\ dx \color{red}{- }\int^{\pi}_{0} \frac{\pi \sin x}{3+\sin^2 x}\ dx $$ el que da la respuesta correcta.

2voto

Dr. MV Puntos 34555

$$\int^{2\pi}_{\pi} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{3\pi}_{2 \pi} \frac{(x - \pi)(-\sin x)}{3+\sin^2 x} \ dx=\int^{\pi}_{0} \frac{(x + \pi)(-\sin x)}{3+\sin^2 x} \ dx$$

1voto

David K Puntos 19172

Para cambiar los límites de integración de$\int_\pi^{2\pi}$$\int_0^\pi$, sustituto $x \rightarrow x + \pi$. Esto le da la correcta límites de integración (debido a $0 + \pi = \pi$ y $\pi + \pi = 2\pi$), y también le da la señal correcta en el resultado.

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