A menudo con la integración por sustitución veo (y uso) de la notación $ x \to \frac{\pi}{2} - x $, por la sencilla razón de que no tengo que cambiar el nombre de la variable que estoy integrando con respecto a, pero recientemente esta notación no me ha llevado a confundir, en el sentido de que no estoy seguro de entender correctamente.
Por ejemplo, con la integral de la $$ \int^{2\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx $$
Procedí de la siguiente manera.
Primero que se nota, que previamente me han demostrado que $\int^{\pi}_{0} \frac{x \sin x}{3+\sin^2 x} \ dx =\frac{\pi}{2}\int^{\pi}_{0} \frac{\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \frac{\pi}{4}\ln 3 $
Volviendo a la integral $$ \int^{2\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx + \int^{2\pi}_{\pi} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx $$
Ahora en la segunda integral sustituto $ x \to x - \pi $, entonces tenemos
$$\int^{2\pi}_{\pi} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{\pi}_{0} \frac{(x - \pi)(-\sin x)}{3+\sin^2 x} \ dx= -\int^{\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x}\ dx + \int^{\pi}_{0} \frac{\pi \sin x}{3+\sin^2 x}\ dx $$
Esto significa que
$$ \int^{2\pi}_{0} \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x} \ dx = \int^{\pi}_{0} \frac{\pi \sin x}{3+\sin^2 x}\ dx = \frac{\pi}{2} \ln 3 $$ por el resultado inicial.
Esto es incorrecto; la respuesta debe ser $ - \frac{\pi}{2} \ln 3 $, pero no veo mi error. Creo que un error puede haber surgido con mi sustitución, por lo que agradecería si alguien podría señalar dónde está el error y por qué está mal.
Además, no estaba seguro de cómo, a fin de que esta pregunta, pero espero que el título que he elegido es el adecuado.