Demostrar $\frac{1}{{4n^2 - 1}} = \frac{1}{{(2n + 1)(2n - 1)}} = \frac{1}{{2(2n - 1)}} - \frac{1}{{2(2n + 1)}}$

Question

Podría usted explicar la operación en el tercer paso?

$$\frac{1}{{4n^2 - 1}} = \frac{1}{{(2n + 1)(2n - 1)}} = \frac{1}{{2(2n - 1)}} - \frac{1}{{2(2n + 1)}}$$

Se trata de la sumation $$\sum_{n=1}^\infty\frac1{4n^2-1}$$

Yo sólo podía copiar a mi tarea, pero me gustaría saber cómo esta conversión obras. Gracias de antemano.

Answer 1

En lugar de pasar de la segunda expresión para el tercero, tratar de pasar de la tercera a la segunda.

De manera más general, esta técnica se llama "la descomposición en fracciones parciales."

En este caso particular, se puede comenzar a escribir: $$\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n-1}$$

Ahora multiplique ambos lados por $(2n+1)(2n-1)$ y resolver para $A$$B$.

Answer 2

Voy a arrojar algo de luz sobre otra forma de hacer esto usando un método ligeramente diferente con parciales de fracciones. Tenga en cuenta que la forma en que Marvis hizo es generalmente un método más eficaz para obtener más difíciles expresiones (con varias variables donde los sistemas de ecuaciones son excelente para el trabajo). $$\frac{1}{{4n^2 - 1}} = \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n-1}$$

Podemos cruz de multiplicar para obtener

$$1 = A(2n-1) + B(2n+1)$$

Para encontrar fácilmente los valores de $A$$B$, sería agradable si hemos sido capaces de conseguir en una única variable de la ecuación lineal en lugar de tener que lidiar con sistemas de ecuaciones. Esto es lo mismo que decir que queremos para tratar de encontrar una $n$ tal que $A(2n-1) = 0$$B(2n+1) = 0$.

$$2n-1 = 0 \implies 2n = 1 \implies n = \frac{1}{2}$$ $$2n + 1 = 0 \implies 2n = - 1 \implies n = -\frac{1}{2}$$

Así, vamos a tratar tanto de los valores de ahora.

Conectar $n = \frac{1}{2}$ rendimientos

$$1 = 2B \iff B = \frac{1}{2}$$

Conectar $n = -\frac{1}{2}$ rendimientos

$$1 = -2A \iff A = -\frac{1}{2}$$

Por lo tanto, $$\frac{1}{{4n^2 - 1}} = \frac{1}{{(2n + 1)(2n - 1)}} = \frac{1}{{2(2n - 1)}} - \frac{1}{{2(2n + 1)}}$$