Es cierto que $\left[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \right ]=\left[\sqrt{9n+7}\right]$?

Question

Sé que es cierto que $$\left[\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right ]=\left[\sqrt{4n+1}\right],\forall n\in \mathbb N. \tag 1$$ Es cierto que $$\left[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \right ]=\left[\sqrt{9n+7}\right], \tag 2$$ $$\left[\sqrt{n} +\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}\right ]=\left[\sqrt{16n+20}\right], \tag 3$$ $$\left[\sqrt{n} +\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}+\sqrt{n+4}\right ]=\left[\sqrt{25n+49}\right], \tag 4$$ para todos los $n\in \mathbb N$? He comprobado $(2),(3),(4)$ a través de $10^6.$

(Creo $(4)$ tal vez ha contra-ejemplos, pero yo no lo encuentro.)

Answer 1

Para $0<a<b$ tenemos $\sqrt b-\sqrt a=\frac{b-a}{\sqrt b+\sqrt a}$ y, por tanto, la estimación $$\frac{b-a}{2\sqrt b}<\sqrt b-\sqrt a<\frac{b-a}{2\sqrt a}.$$ Por lo tanto $$x:=\sqrt {n}+\sqrt {n+1}+\sqrt{n+2} =3\sqrt{n+1}+(\sqrt{n+2}-\sqrt {n+1})-(\sqrt {n+1}-\sqrt n)$$ se estima que por $$3\sqrt {n+1}+\frac1{2\sqrt{n+2}}-\frac1{2\sqrt n}< x<3\sqrt{n+1}$$ y, a continuación, (aplicando el mismo truco para $a=\frac1{n+2}$, $b=\frac1n$) $$ x > 3\sqrt{n+1}-\frac{\frac1n-\frac1{n+2}}{4\sqrt{\frac1{n+2}}}= 3\sqrt{n+1} - \frac{1}{2n\sqrt{n+2}}.$$ Por lo tanto $$ 9(n+1)-\frac{3\sqrt{n+1}}{n\sqrt{n+2}}+\frac1{4n^2(n+2)}< x^2 < 9n+9$$ Para $n>3$ esto nos da $ 9n+8<x^2<9n+9$ y por lo tanto $ x=\sqrt{9n+\theta}$ con $8<\theta<9$. Desde $9n+8$ no puede ser un cuadrado perfecto(!), llegamos a la conclusión de que $$\lfloor\sqrt{9n+7}\rfloor = \lfloor\sqrt{9n+\theta}\rfloor = \lfloor \sqrt n+\sqrt{n+1}+\sqrt {n+2}\rfloor$$ (al menos para $n>3$, pero uno revisa el resto de forma manual).

El mismo enfoque, aunque con más complicada términos, debe trabajar para $(3)$$(4)$.