Hace una transformación natural en los sitios de inducir una transformación natural en presheaves?

Question

Supongamos $C$ $D$ son los sitios y $F$, $G:C\to D$ dos functors conectados por una transformación natural $\eta_c:F(c)\to G(c)$.

Supongamos, además, que dos de los functors $\hat F$, $\hat G:\hat C\to\hat D$ en las respectivas categorías de presheaves están dadas por $\hat F(c)=F(c)$ $\hat G(c)=G(c)$ donde yo abuso de la notación para el Yoneda incrustación.

Hay siempre una transformación natural $\hat\eta_X:\hat F(X)\to \hat G(X)$?

El problema es, que en el diagrama $$ \begin{array}{rcccccl} \hat F(X)&=&\operatorname{colim} F(X_j)&\to& \operatorname{colim} G(X_j)&=&\hat G(X)\\ &&\downarrow &&\downarrow\\ \hat F(Y)&=&\operatorname{colim} F(Y_k)&\to& \operatorname{colim} G(Y_k)&=&\hat G(Y) \end{array} $$ para un presheaf de morfismos $X\to Y$ los diagramas para la colimits puede ser diferente, o estoy equivocado?

Answer 1

Recordar: dado un functor $F : \mathbb{C} \to \mathbb{D}$ entre las categorías pequeñas, hay un inducida por el functor $F^\dagger : [\mathbb{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \to [\mathbb{C}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, y este functor tiene una izquierda adjoint $\textrm{Lan}_F$ y un derecho adjoint $\textrm{Ran}_F$. Ahora, dada una transformación natural $\alpha : F \Rightarrow G$, hay un inducida por la transformación natural $\alpha^\dagger : G^\dagger \Rightarrow F^\dagger$ (nota de la dirección!), dado por $(\alpha^\dagger_Q)_C = Q(\alpha_C) : Q(G C) \to Q(F C)$. En consecuencia, si $\eta^G_P : P \to (\textrm{Lan}_G P) F$ es el componente de la unidad de la contigüidad $\textrm{Lan}_G \dashv G^\dagger$, podemos componer con $\alpha^\dagger_{\textrm{Lan}_G P}$ para obtener un presheaf de morfismos $\alpha^\dagger_{\textrm{Lan}_G P} \circ \eta^G_P : P \to (\textrm{Lan}_G P) F$, y por contigüidad esto corresponde a una presheaf de morfismos $\textrm{Lan}_F P \to \textrm{Lan}_G P$. Todo esto es natural en $P$, por lo que tenemos la deseada transformación natural $\textrm{Lan}_\alpha : \textrm{Lan}_F \Rightarrow \textrm{Lan}_G$.