Gelfand–Tsetlin patrones de Hermitian matrices y $\mathfrak{gl}_n$ representaciones

Question

Me estoy preguntando acerca de una conexión entre los autovalores de Hermitian matrices y Gelfand–Tsetlin bases para irreductible representaciones de $\mathfrak{gl}_n$ (o $\mathrm{GL}_n$).

Deje $M$ ser un Hermitian $n\times n$ matriz y anote sus autovalores débilmente en orden creciente $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n$. Ahora quitar la última fila y columna y escribe los autovalores de nuevo. La repetición de este proceso se obtiene un patrón de $$\begin{matrix} \lambda_1^{(n)} && \lambda_2^{(n)} && \lambda_3^{(n)} &&\cdots && \lambda_n^{(n)} \\ & \lambda_1^{(n-1)} && \lambda_2^{(n-1)} && \cdots && \lambda_{n-1}^{(n-1)} \\ && \ddots && \ddots\\ &&& \lambda_1^{(2)} && \lambda_2^{(2)} \\ &&&& \lambda_1^{(1)}. \end{de la matriz}$$ Por Cauchy del entrelazado teorema, este modelo satisface las desigualdades $\lambda_i^{(k)} \le \lambda_i^{(k-1)} \le \lambda_{i+1}^{(k)}$, es decir, cada entrada está acotada entre sus dos vecinos hacia arriba.

Tales patrones se llama Gelfand–Tsetlin patrones, como también surgen en la teoría de las representaciones, donde enumerar los llamados Gelfand–Tsetlin bases de representaciones irreducibles de $\mathfrak{gl}_n$, la Mentira álgebra de todo el complejo $n\times n$ matrices con $[X,Y]=XY-YX$.

Las representaciones irreducibles de $\mathfrak{gl}_n$ se dan por entero particiones $\lambda = (\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n)$ y cuando dicha representación $V(\lambda)$ está restringido a $\mathfrak{gl}_{n-1}$ considerado como el subalgebra de todas las matrices con las entradas en la última fila y columna son cero, de nuevo puede ser expresado en términos de representaciones irreducibles. Esta idea de los rendimientos de la ramificación de la regla $$V(\lambda)\big|_{\mathfrak{gl}_{n-1}} \ \cong\ \bigoplus_{\mu} V(\mu),$$ donde la suma directa de rangos de todos los enteros particiones $\mu = (\mu_1 \le \cdots \le \mu_{n-1})$ la satisfacción de la condición de entrelazado $$\lambda_1 \le \mu_1 \le \lambda_2 \le \mu_2 \le \cdots \le \lambda_{n-1} \le \mu_{n-1} \le \lambda_n.$$ La aplicación de esta ramificación de forma recursiva, uno termina con una suma directa de $\mathfrak{gl}_1$ representaciones y, por tanto, expresa el $V(\lambda)$ como una suma directa de $1$-dimensiones de los subespacios, cada una correspondiente a un triangular de Gelfand–Tsetlin patrón como en el anterior, con todas las entradas de los números enteros y la fila superior se $\lambda$. Recogiendo algunos no-vector cero en cada una de las $1$-dim subespacios, se obtiene un Gelfand–Tsetlin base de $V(\lambda)$.

Desde el mismo patrones aparecen como espectros de truncado de Hermitian matrices y como enumeradores para los vectores de la base de $V(\lambda)$, me pregunto si hay algún tipo de conexión al acecho?

Cualquier referencia, pensamientos o consejos son bienvenidos!

Answer 1

La canónica de referencia para la relación entre la teoría de la representación y valores propios de Hermitian papeles es Klyachko del artículo fundacional de los Establos haces, teoría de la representación y Hermitian operadores.