¿Cómo encontrar el área de un triángulo con longitudes de alturas?

Question

Dadas las longitudes de 3 alturas de un triángulo, necesito encontrar su área.

Answer 1

Desde $h_A=\frac{2\Delta}{a}$ por la fórmula de Heron tenemos:

$$\small\frac{1}{\Delta}=\sqrt{\left(\frac{1}{h_A}+\frac{1}{h_B}+\frac{1}{h_C}\right)\left(-\frac{1}{h_A}+\frac{1}{h_B}+\frac{1}{h_C}\right)\left(\frac{1}{h_A}-\frac{1}{h_B}+\frac{1}{h_C}\right)\left(\frac{1}{h_A}+\frac{1}{h_B}-\frac{1}{h_C}\right)}.$$

Answer 2

Sabes que la base por la altura te da el área. Que el triángulo tenga lados $a,\ b$ y $c$ con las correspondientes altitudes $h_a,\ h_b,\ h_c$ . Entonces $$ah_a = bh_b = ch_c = 2A$$ donde $A$ es el área del triángulo. Sustituye estas relaciones en La fórmula de Heron y resolver para $A$ .

Editar : No sabía que la fórmula resultante tuviera un nombre, pero al parecer, como menciona joriki, es el teorema del área.

Answer 3

$$ t=area, x=ha, y=hb, z=hc $$ $$ t=\frac{x^2*y^2*z^2}{\sqrt{(xy+yz+zx)(-xy+yz+zx)(xy-yz+zx)(xy+yz-zx)}} $$ o

$$ t=\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x^2*y^2}+\frac{2}{y^2*z^2}+\frac{2}{z^2*x^2}-\frac{1}{x^4}-\frac{1}{y^4}-\frac{1}{z^4}}} $$

Utilice TrianCal.esy.es (calculadora de triángulos) Ejemplo: http://triancal.esy.es/?lang=en&tip=2&x=45&y=60&z=36