Esto también se conoce como el teorema de Euler.
El teorema de Euler Deje $f : \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}$ ser continua, y también diferenciable en a $\mathbb{R}^n_{++}$. A continuación, $f$
es homogénea de grado $k$ si y sólo si para todo $x \in
> \mathbb{R}^n_{++}$, $$kf(x) = \sum^n_{i=1} D_if(x)x_i \, \, \ldots \, \,\,(∗)$$
Prueba: ($\Rightarrow$) Supongamos $f$ es homogénea de grado $k$. Fix $x \in \mathbb{R}^n_{++}$, y definir la función $g : [0, \infty) \to \mathbb{R} $ (dependiendo x) por $$g(\lambda) = f(\lambda x) − \lambda ^kf(x)$$
y tenga en cuenta que para todas las $\lambda ⩾ 0$,
$$g(\lambda ) = 0$$
Por lo tanto, $$g′(\lambda ) = 0$$ for all $\lambda > 0$. Pero por la regla de la cadena,
$$g′(\lambda ) = \sum^n_{i=1} D_if(x)x_i − k\lambda ^{k−1}f(x)$$
Evaluar esta en $\lambda = 1$ obtener $(∗)$.
($\Leftarrow$) Suponga que $$kf(x) = \sum^n_{i=1} D_if(x)x_i$$ for all $x \in
\mathbb{R}^n_{++}$. Fix any $x ≫ 0$ and again define $g : [0, \infty) \to \mathbb{R} $ (depending on $x$) by $$g(\lambda ) = f(\lambda x) − \lambda ^kf(x)$$ and note that $g(1) = 0$. Then for $\lambda > 0$,
$$g′(\lambda ) = \sum^n_{i=1} D_if(\lambda x)x_i − k\lambda ^{k−1}f(x)$$ $$= \lambda^{-1}\sum^n_{i=1} D_if(\lambda x)\lambda x_i − k\lambda ^{k−1}f(x)$$
$$= \lambda^{-1} kf(\lambda x) − k\lambda ^{k−1}f(x)$$
Así
$$\lambda g′(\lambda ) = kf(\lambda x) − \lambda ^kf(x))= kg(\lambda )$$
Desde $\lambda $ es arbitrario, $g$ satisface la siguiente ecuación diferencial:
$$g′(\lambda ) −\frac{k}{\lambda }g(\lambda ) = 0$$
y la condición inicial $g(1) = 0$. Por el teorema de abajo,
$$g(λ) = 0 \cdot e^{A(\lambda )} + e^{−A(\lambda )}\int_1^{\lambda} 0 \cdot e^{A(t)}dt = 0$$
donde, ya irrelevante, $$A(\lambda ) = −\int_1^{\lambda} \frac{k}{t} dt = −k \ln \lambda $$
Esto implica $g$ es idéntica a cero, por lo $f$ es homogénea en $\mathbb{R}^n_{++}$. La continuidad garantiza que $f$ es homogénea en $\mathbb{R}^n_{+}$.
