¿Cómo calcular el valor de$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(3k+1)\cdot(3k+2)\cdot(3k+3)}$?

Question

¿Cómo calculo el valor de la serie$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(3k+1)\cdot(3k+2)\cdot(3k+3)}= \dfrac{1}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac{1}{4\cdot5\cdot6}+\dfrac{1}{7\cdot8\cdot9}+\cdots$?

Answer 1

Al hacer uso de la integral$$\int_{0}^{1} \frac{(1-x)^2}{1-x^3} \, dx = \frac{1}{2} \, \left(\frac{\pi}{\sqrt{3}} - \ln 3 \right)$ $ uno puede tomar la siguiente ruta. \begin{align} S &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Gamma(3k+1)}{\Gamma(3k+4)} = \frac{1}{2} \, \sum_{k=0}^{\infty} B(3, 3k+1), \end {align} donde$B(n,m)$ es la función Beta, que lleva a \begin{align} S &= \frac{1}{2} \, \sum_{k=0}^{\infty} \, \int_{0}^{1} t^{2} \, (1-t)^{3k} \, dt \\ &= \frac{1}{2} \, \int_{0}^{1} \frac{t^{2} \, dt}{1- (1-t)^{3}} \\ &= \frac{1}{2} \, \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{2} \, dx}{1- x^3} \hspace{15mm} x = 1 - t \\ &= \frac{1}{4} \, \left(\frac{\pi}{\sqrt{3}} - \ln 3 \right). \end {align}

Answer 2

La respuesta es $\frac{\pi\sqrt3}{12}-\frac{\ln3}{4}.$

Vea el problema similar (problema 2) aquí: http://www.imc-math.org.uk/imc2010/imc2010-day1-solutions.pdf

Answer 3

Puede calcular la suma parcial utilizando $$ \ frac {1} {(3k +1) (3k +2) (3k +3)} = \ frac {1} {2} \ frac {1} {3k +1} - \ frac {1} {3k +2} + \ frac {1} {2} \ frac {1} {3k +3} $$