¿He descubierto un nuevo significado para una constante previamente descubierta?

Question

He estado interesado en infinitas sumas de dinero por un tiempo, aunque no tengo ni la educación formal de ellos. Yo jugueteaba con la repetición de la división y, además (por ejemplo, 1 + (1 / (1 + (1 /...)))) luego he conectado los números de fibonacci en el modelo anterior, y como he calculado más y más capas, el resultado convergido en torno a 1.39418655, que acabo de enterar fue una constante denominada Madachy constante. Sin embargo, a partir de la investigación que hice sobre la constante (me pareció muy poco), no parecen estar relacionados con la infinita serie o números de Fibonacci. He encontrado una nueva forma de calcular este número? ¿Da más importancia?

Answer 1

¿Viste esto? fq.math.ca/Scanned/6-6/madachy.pdf Parece que es exactamente su cálculo.

Edición amigable: esto está en Fibonacci Quarterly, Volume 6 No. 6 página 385, como se ve en la portada de ese número .

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario.) El OP continuo de la fracción que utiliza los números de Fibonacci $F_n$ es

$$\mu =1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{3} {5 + \cfrac{8} {13 + \cfrac{21} {34+\ddots}}}}=1.3941865\dots $$

que, como se señaló Alegres Chirivía, fue investigado previamente por José Madachy y cuya constante es diseñado por OEIS A130701 como $\mu$.

Sin embargo, la persistencia de la fracción, cuyos términos son también números de Fibonacci y ha conocido de forma cerrada,

$$\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} =1^2+\cfrac{(1\cdot1)^2} {1^2+ \cfrac{(1\cdot2)^2} {2^2 + \cfrac{(2\cdot3)^2} {3^2 + \cfrac{(3\cdot5)^2} {5^2 + \cfrac{(5\cdot8)^2} {F_n^2 + \cfrac{(F_{n}\cdot F_{n+1})^2} {F_{n+1}^2+\ddots} }}}}}$$

Si queremos truncar en el $n$th término, obtenemos que la relación. Nota $\lim \frac{F_{n+1}}{F_{n}} = \phi$ como $n\to\infty$.

P. S. sería agradable si $\mu$ tiene una forma cerrada en términos de la proporción áurea $\phi$ así.

Answer 3

La fracción continua que estás calculando convergerá a la proporción de oro . Es sin duda una constante significativa que tiene una historia que abarca varios milenios.