$m$ en la ecuación de Klein-Gordon

Question

La ecuación de Klein-Gordon viene dada por $$ (\square + m^2) \phi(x) = 0 $$ donde $\square$ es el operador d'Alembertiano, $m \in \mathbb{R}$ y $\phi$ es un campo escalar.

Pregunta: ¿Qué es? $m$ en la ecuación de KG? ¿Es sólo un número real? ¿Cómo se relaciona con el campo escalar $\phi$ ?

Si $m=0$ entonces la ecuación de KG se convierte en $$ \square \phi(x) = 0. $$

Una solución general de esta ecuación viene dada por $$ \phi = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_p e^{-ipx} + a_p^* e^{+ipx}\right) $$ donde $p^{\mu}$ es una constante $4$ -vector.

En la condición de la galga de Lorenz (es decir; $\partial_{\mu} A^{\mu} = 0$ ), la ecuación de Maxwell en el espacio libre (es decir $\partial_{\mu} F^{\mu\nu} = 0$ ) se reduce a $$ \square A^{\nu} = 0. $$

$A^{\nu}$ el campo electromagnético, también puede expresarse mediante la misma expresión para $\phi$ . El campo electromagnético se denomina campo vectorial sin masa para cada polarización.

Pregunta: ¿Cómo se relaciona la masa cero de los fotones con la forma de la ecuación $\square A^{\nu} = 0$ donde $m=0$ ?

Answer 1

Una vez que se empieza a pensar en la relatividad, los campos gauge, el qft, etc., es fácil olvidar que la ecuación de KG sin masa es en realidad sólo un nombre elegante para una de las ecuaciones más simples y comunes de la física: $$ (\partial_t^2 - \partial_x^2) \, \varphi = 0 , $$ ¡la ecuación de onda!

El ejemplo más conocido son las ondas en una cuerda. Aquí está la respuesta en ese contexto:

$$ (\partial_t^2 - \partial_x^2 + m^2) \, \varphi = 0 $$

                [![](https://i.imgur.com/lzo1xTY.png "(a) Zero mass.")](https://imgur.com/lzo1xTY)         [![](https://i.imgur.com/p12lX43.png "(b) Nonzero mass.")](https://imgur.com/p12lX43) 

Con $m=0$ estás hablando de ondas en una cuerda, donde cada pequeño segmento de cuerda está acoplado sólo a sus vecinos. (A esto lo llamamos "ecuación de onda").

Con $m\neq 0$ cada pequeño segmento de cuerda tiene una fuerza de restauración armónica de vuelta a su desplazamiento de equilibrio, además del acoplamiento de los vecinos. (Yo lo llamaría "ecuación de onda con dispersión").

El valor de $m$ le indica la fuerza de restauración armónica en cada punto, en relación con la fuerza de acoplamiento de los vecinos.

Bien, ¿por qué "masivo" y "sin masa"? Por algunas razones.

Mira la relación de dispersión $\omega = \sqrt{k^2 + m^2}$ .

1. En la mecánica cuántica $\omega \sim E$ y $k \sim p$ A grandes rasgos. Traduciendo, la relación de dispersión es como $E = \sqrt{p^2 + m^2}$ que es la energía relativista para una partícula con masa en reposo $m$ .

2. Los paquetes de ondas normalizados tienen una energía total mínima $m$ . (Puede que esto no sea estrictamente cierto, pero la idea es correcta. No me apetece elaborar la prueba. La cuestión es que en el espacio de Fourier (en un tiempo fijo) estás sumando energías relacionadas con $\omega(k) \geq m$ .)

3. La velocidad de grupo de todos los paquetes de ondas es $c$ (por supuesto $c=1$ aquí) si $m=0$ . Si $m>0$ todos los paquetes de ondas tienen una velocidad de grupo inferior a $c$ . En el caso masivo $m>0$ Los paquetes de ondas normalizados de baja energía se quedan quietos (toda la energía de la "masa en reposo", sin energía cinética), mientras que los paquetes de ondas normalizados muy energéticos se mueven casi a $c$ (alta energía cinética).

Al pasar a la cuántica, las propiedades 2 y 3 de los paquetes de ondas clásicos se traducen básicamente en las propiedades correspondientes de las excitaciones cuánticas.

Así que básicamente la respuesta a tu segunda pregunta es: Porque la relación de dispersión de KG corresponde a la ecuación de energía relativista para una partícula de masa en reposo $m$ y la dinámica de paquetes de ondas asociada también concuerda con la analogía.

Estoy seguro de que hay muchas más formas de pensar en esto, algunas más rigurosas desde el punto de vista matemático, pero creo que todas están fundamentalmente relacionadas con ese hecho básico y las propiedades anteriores.

Answer 2

La respuesta es simplemente que m representa la masa. La ecuación de KG es el equivalente ondulatorio de la relación energía momento de Einstein $E^2 = m^2c^4+p^2c^2$ .

Answer 3

Supongamos que estamos tratando sobre un campo masivo de espín 1 (bosón masivo), la acción apropiada para ese campo es la Acción Proca que variando esa Acción da la ecuación de Proca.

que equivale a la siguiente forma:

$(\partial_{\mu}\partial^{\mu}+m^2){A^{\nu}}=0$

Y $A^{\nu}=({\phi},A)$ , donde ${\phi}$ y $A$ son campos escalares y vectoriales generalizados, respectivamente.

En el caso de que sólo el componente temporal (el campo escalar) sea no evanescente, obtenemos una ecuación que tiene la forma de la ecuación de Klein-Gordon, es decir

$(\partial_{\mu}\partial^{\mu}+ m^2) \phi = 0$

donde $\phi$ es algún campo escalar. soluciones para esa ecuación con $m=0$ son similares a la ecuación de Proca sin masa con componentes espaciales no evanescentes de $A^{\nu}$ .

Pregunta: ¿Cómo se relaciona la masa cero de los fotones con la forma de la ecuación $\square A_{\nu}=0$ donde $m=0$ ?

En el caso sin masa, es decir $m=0$ se obtienen las ecuaciones de maxwell en la galga de Lorenz que describen el fotón.

$\partial_{\mu}\partial^{\mu} A^{\nu} = 0$

Answer 4

Comenzamos con un gratis campo escalar Lagrangiano $\mathcal{L}[\phi, \partial_{\mu}\phi]$ : $$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial^{\mu}\phi \partial_{\mu}\phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 $$ donde, $m$ se llama masa del campo escalar $\phi(x)$ . La ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es la ecuación de Klein-Gordon $$(\Box + m^2)\phi = 0$$ donde $m$ es la masa del campo escalar $\phi(x)$ .

Ahora hablaré de cómo la masa $m$ del campo escalar $\phi(x)$ está relacionado con la masa $m$ de una partícula.

Resolvemos la ecuación de Klein-Gordon y promovemos la solución $\phi(x): \mathbb{R}^{1,3} \rightarrow \mathbb{R}$ a una familia de operadores (parametrizados por el punto espacio-temporal $x$ ) $\hat{\phi}(x)$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . El procedimiento de cuantificación conduce a la siguiente definición: $$ \hat{a}^{\dagger}(\textbf{k})|0\rangle = |k\rangle, $$ donde $k$ es el 4-momento. Interpretamos $|k\rangle$ ya que representa una gratis partícula con moemntum $\textbf{k}$ , masa $m$ y girar $s=0$ (es decir, un bosón). Obsérvese que $m$ es el parámetro que aparece en la lagrangiana del campo escalar libre $\mathcal{L}[\phi, \partial_{\mu}\phi]$ .

Answer 5

Schrodinger descubrió la ecuación de KG antes de descubrir la ecuación que lleva su nombre. La descartó al no poder desarrollar una interpretación de la misma que fuera físicamente plausible.

La ecuación de KG se encuentra cuantificando la relación energía-momento de Einstein y allí $m$ representa la masa y lo mismo después de la cuantificación en la propia ecuación KG.