¿Qué significa el valor de un PDF?

Question

Entiendo que la integral de un PDF proporciona un valor tangible; es decir, la integral de un PDF permite ver la probabilidad de que ocurra un valor o menos que ese valor, bajo una distribución particular. Pero, ¿qué proporciona el valor de solo la salida del PDF? En otras palabras, ¿qué significa el PDF de la distribución normal estándar en x = 0.5?

Answer 1

Me gustaría, en primer lugar decir que usted debe tratar de estar bien con ella, no tener un super de abajo-a-tierra significado. A veces puede ayudar a dejarse abstracto y el uso de las herramientas matemáticas que tienen que llegar a algún lugar que no podría haber conseguido de forma exclusivamente razonamiento a través de las declaraciones que usted puede usar para describir otras cosas en su vida diaria. Por otro lado, a menudo es útil tener un poco de formas concretas de pensar en cosas que no son abstractas, así que es bueno que estás investigando esto.

Pero como el PDF es el derivado de la CDF, el valor de PDF $p(x)$ a $x$ es la pendiente de la mejor aproximación lineal de la CDF cerca de $x$, es decir, que si $\epsilon$ es super pequeño, entonces si usted quiere aproximar la probabilidad de que un evento entre $x$ e $x+\epsilon$ ocurre de forma lineal en $\epsilon$, su mejor apuesta es decir $\epsilon \cdot p(x)$.

Answer 2

Definición (Intestino, 2005): Una función de distribución F es

• discretos iff para algunos contables conjunto de números {$x_j$} y punto de masas {$p_j$}, $$F(x) = \sum_{x_j\leq x} p_j, \quad \text{for all x} \in \Bbb R.$$ La función p se llama la función de probabilidad.
• continua si es continua para todo x.
• absolutamente continua si existe una no-negativo, Lebesgue integrable función de f, tal que $$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\text{ dx} \quad {for \space all \space x < b.}$$ de La función f se llama la densidad de F.
• singular iff F $\neq$ 0, F' existe y es igual a 0.e.

Por la definición, la evaluación de una función de distribución de probabilidad F es simplemente una integración de la densidad de dicha distribución. Como se mencionó, en el caso de una $<$ b, esto nos da la probabilidad de que un determinado rango de valores.

Sin embargo, si la evaluación de la función de distribución F en un solo valor, la integral claramente se desvanece. Para encontrar la probabilidad de un valor único, F debe ser discretas, lo que nos permite calcular $$F(a) = \sum_{a \in X} p_j(a).$$ By taking the limit on $\int_a^bf(x)\text{dx}$ to F(a + $\epsilon$) - F(a - $\epsilon$) = $\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}f(x)\text{dx}$, podemos entonces encontrar así la probabilidad relativa de F(a) se produzca.