Operadores lineales limitados en espacios de Banach

Question

Dejar $1<p_1<p<p_2<\infty$ . Dejemos que $Y$ sea un espacio de Banach y sea $T$ sea un operador lineal acotado de $L^{p_1}$ a $Y$ y de $L^{p_2}$ a $Y$ . Demostrar que $T$ es entonces también un operador lineal acotado de $L^p$ a Y.

Estoy tratando de utilizar el lema que establece que para cualquier $u\in L^p$ existe $u_1\in L^{p_1}$ y $u_2\in L^{p_2}$ tal que $u=u_1+u_2$ .

Así que existe $C_1$ tal que $$||Tx||_y\leq C_1||x||_{p_1}$$ para cualquier $x\in L^{p_1}$ .

También existe $C_2$ tal que $$||Tx||_y\leq C_2||x||_{p_2}$$ para cualquier $x\in L^{p_2}$ .

Por lo tanto, si $s\in L^p$ entonces podemos escribir $s=u_1+u_2$ tal que $u_1\in L^{p_1}$ y $u_2\in L^{p_2}$ . Entonces $$||Ts||_y\leq||Tu_1||_y+||Tu_2||_y\leq C_1||u_1||_{p_1}+C_2||u_2||_{p_2}\leq C[||u_1||_{p_1}+||u_2||_{p_2}],$$ para alguna constante $C$ .

No sé si es posible tener una desigualdad como $$||u_1||_{p_1}+||u_2||_{p_2}\leq C^* ||u_1+u_2||_p \ ??$$

Answer 1

Supongamos que $f\in L^p$ tal que $\|f\|_p = 1$ se da. Lo que queremos demostrar es la existencia de $C>0$ (que no depende de $f$ ) tal que $$ \|Tf\|_Y\le C. $$ Ahora, podemos descomponer $$ f=f1_{\{|f|\le 1\}}+f1_{\{|f|>1\}}=f_1+f_2. $$ Tenga en cuenta que $\int |f_1|^{p_1}\le\int |f|^p= 1$ y $\int |f_2|^{p_2}\le\int |f|^p= 1$ . Por lo tanto, $\|f_1\|_{p_1}\le$ y $\|f_2\|_{p_2}\le 1$ se mantiene. Por lo tanto, tenemos $$ \|Tf\|_Y\le \|Tf_1\|_Y+\|Tf_2\|_Y\le C_1+C_2 $$ y la conclusión deseada es válida para $C=C_1+C_2$ .

Nota: De hecho, el método de Riesz-Thorin (utilizando el método complejo) proporciona un mejor límite $$ \|T\|_{p}\le \|T\|_{p_1}^\alpha\|T\|_{p_2}^{1-\alpha} $$ donde $\frac{1}{p}=\frac{\alpha}{p_1}+\frac{1-\alpha}{p_2}.$