¿Existe un método más simple para calcular$\sqrt[n]{x}$?

Question

He comenzó para volver a enseñar a mí mismo Álgebra y estoy refrescando mis raíces (juego de palabras). He estado siguiendo este sitio web (lo que hace que sea sencillo para refrescar la memoria), y como ya he revisado la raíz de ejemplos no podía dejar de preguntarse si no fue un simple proceso matemático para el cálculo de $\sqrt[n]{x}$.

He revisado el artículo de la Wikipedia , cubriendo las raíces enésimas y aprendido de la raíz enésima del algoritmo:

$$x_{k + 1} = \frac{1}{n} \Biggl( (n - 1)x_k + \frac{A}{x^{n - 1}_k} \Biggr)$$

Este algoritmo nos permite realizar una estimación inicial de $x_0$ e iterar el uso de la recurrencia de la relación hasta que la precisión que se alcanza. El otro método que se destacó fue logarítmica de cálculo en la que:

A partir de la ecuación que define a$r$ como una raíz enésima de a$x$, es decir, $r^n = x$ con $x$ positivo y por lo tanto su principal raíz de $r$ también positivo, se toma logaritmos de ambos lados (en cualquier base del logaritmo va a hacer) para obtener:

$$n \log_b r = \log_b x$$

por lo tanto

$$\log_b r = \frac{\log_b x}{n}$$

La raíz de $r$ es recuperado a partir de este tomando el antilog:

$$r = b^{\frac{1}{n} \log_b x}$$

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Sin embargo, en mi opninion estos parecen bastante complejo y me pregunto; ¿hay un método más sencillo, que no incluyen adivinanzas, que puede resolver por $y$ en el siguiente:

$$\sqrt[n]{x} = y$$

Inicialmente se intentó con más simples de matemáticas, tales como: $\sqrt[n]{x} = \frac{x}{n}$ e $\sqrt[n]{x} = \sqrt{\frac{x}{n}}$ pero, obviamente, no funcionó, excepto para algunos casos como el de $\sqrt[3]{27} = \sqrt{\frac{27}{3}}$.

EDIT: he hablado con un amigo sobre el tema y señaló lo siguiente:

$$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$

¿Cuán exacta esta siendo a través de la junta? He probado varias muestras y parece bastante consistente para mí.

Answer 1

La n-ésima raíz algoritmo converge cuadráticamente (el número correcto de dígitos es esencialmente duplica en cada paso) y sólo utiliza "más simple" operaciones tales como suma, división, potencias enteras.

Este método es rápido, fiable, precisa y no requiere de nada, excepto de la aritmética básica. Usted sabe de antemano cuántos pasos son necesarios para obtener, digamos de 100 dígitos. Con una partida decente valor, usted necesitará alrededor de 10 pasos.

El método de registro requiere el cálculo de logaritmos y exponenciales que a su vez hace aproximadamente. Por lo que este método tiene una incierta cantidad de trabajos computacionales asociados con ella y control de precisión es también incierto.

La "simplicidad" es un criterio subjetivo y debe ser equilibrado contra de la fiabilidad, la precisión, la velocidad. Muchos (incluido yo) iba a llamar a la n-ésima raíz algoritmo simple y elegante.

Answer 2

Aquí es un método. Esto requiere una estimación inicial, aunque.

La generalización de la binomial theorm:

$(x+y)^k = x^k + kx^{k-1}y + \frac {k(k-1)}{2} x^{k-2}y^2 + \cdots$

Podemos ver que la potencia de x gotas de cada término, y la potencia de y aumenta a uno de cada término. Los coeficientes son un poco más complicadas. Para cada uno de nosotros tome el anterior coeficiente se multiplica por la anterior potencia de x y se divide por la actual potencia de y.

¿Cómo la usamos aquí.

Podemos hacer una conjetura. $a\approx x^\frac 1n. $ Tiene algún error que vamos a llamar a $b$

$x^\frac 1n = (a^n + b)^\frac 1n$

Y el uso de la binomial generalizada thereom.

$x^\frac 1n = a + \frac {1}{n}\frac {b}{a^{n-1}} - \frac {1(n-1)}{2n^2}\frac {b^2}{a^{2n-1}} + \frac {1(n-1)(2n-2)}{6n^3}\frac {b^3}{a^{3n-1}} + \cdots$

Por ejemplo

$71^\frac 13 = (4^3 + 7)^\frac 13\\ 4 + \frac {1}{3}\frac {7}{4^2} - \frac {1\cdot 2}{2\cdot 3^2}\frac {7^2}{4^5}+\frac {1\cdot 2 \cdot 5}{3!\cdot 3^3}\frac {7^3}{4^8}- \cdots$

$4 + \frac {7}{48} - \frac {49}{2304}+\frac {1715}{530846}- \cdots$

Como se puede ver que el denominador está creciendo rápidamente.