Teniendo un cubo, con un punto en su centro.
¿Qué forma hacen los puntos que están equidistantes entre el centro y las vértices del cubo?
La razón por la que tuve esta pregunta es la siguiente foto
¿Qué forma resulta de esta composición de puntos equidistantes?
Muchas gracias.
La respuesta a la pregunta de la captura de pantalla es un octaedro truncado. Si consideras el centro del cubo y un vértice, el lugar de puntos equidistantes es un plano bisector perpendicular. 8 de esos planos crean un octaedro. Sin embargo, si consideras los centros de otros cubos, el lugar de puntos equidistantes con ellos dará como resultado el cubo inicial. Por lo tanto, la respuesta es la intersección del cubo y el octaedro, que es un octaedro truncado.
La forma que obtienes se llama un octaedro truncado:
El patrón resultante de teselación (teselado) se llama un cuarzo bitruncado:
(Ambas imágenes tomadas del artículo de Wikipedia sobre el octaedro truncado.)
Solo para agregar algunas nociones adicionales a las respuestas dadas: Esas describen el dominio de Voronoi respectivamente complejo de Voronoi de la red cúbica centrada en el cuerpo (bcc) retícula. - Dentro de la cristalografía, el dominio de Voronoi también se llama zona de Brillouin.
Dentro de la imagen de OP está la búsqueda del volumen de $D(0)$ también. $D(0)$ ya había sido mencionado como la octaedro truncado. Por lo tanto, el volumen buscado es $$V=8\sqrt 2\ s^3$$
donde $s$ es la longitud de la arista de ese poliedro. Esa longitud a su vez se puede ver en esa misma imagen como (en unidades de la constante de red $a$) $$s=\frac 12 \sqrt 2\ a$$
Por lo tanto, el valor total buscado sería $$V=4\ a^3$$
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¿Qué quieres decir con forma? ¿Debería preservarse la conectividad?
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Forman los vértices de un cubo.
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@lightxbulb Si miras la pregunta original, verás que lo que realmente se está solicitando es el volumen del conjunto de todos los puntos que están más cerca del centro de un cubo que de cualquiera de sus vértices. El usuario original desea comprender la superficie límite de esta región.
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Nunca esperé aprender matemáticas cuando vi Assasination Classroom, pero al ver ese problema y la elegante solución para encontrar el volumen fue genial. En realidad, representar las matemáticas en progreso (aunque dramatizada esa secuencia fuera) es lamentablemente una rareza en la cultura popular.
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@TonyK Ocho de ellos lo hacen, pero creo que estamos buscando toda la superficie...