Maximidad de un ideal para mostrar que un álgebra es de hecho un campo.

Question

Tengo un álgebra $A$ sobre el campo $F$, con lo finito dimensionalidad $n$ como un espacio vectorial sobre $F$. También puedo suponer que $A$ es una parte integral de dominio. Suponiendo que $v_1,...,v_n$ es una lista que abarca de los vectores y que $v_1=1$, creo que puedo representar a $A$como $F[v_1,v_2,...,v_n]/I$ donde $$I=\left(v_1-1,\ v_iv_j\ \forall\ 2\leq i,j\leq n\right).$$ Ahora, yo espero mostrar que $A$ es un campo en la prueba de los maximality de $I$, pero no puedo averiguar cómo mostrar que.

Answer 1

Aquí está una manera diferente de mostrar $A$ es un campo. Simplemente vamos a demostrar que si $a\in A$ es distinto de cero, entonces a$a$ tiene un inverso multiplicativo en $A$. Considere la posibilidad de la $F$-lineal mapa de $M_a:A\to A$ dado por $M_a(b) = a\cdot b$. Es un inyectiva $F$-lineal mapa entre $F$-espacios vectoriales de la misma (finito) de dimensión, y así también es surjective. Por lo tanto, $M_a(b) = 1$ para algunos $b\in A$, es decir, $a\cdot b = 1$.