Encontrando suma al infinito

Question

Estoy tratando de encontrar en qué convergirá este valor a $$\sum_{n = 1}^{ \infty}\frac{n^2}{n!}$ $

Intenté usar la serie de Taylor para $e^x$, pero no pude averiguar cómo manipularla para obtener la expresión anterior, alguien puede ayudarme.

Edit: He visto la solución, la manipulación requerida no vino a mí, ¿hay algún recurso que puedan contarme sobre dónde puedo encontrar / practicar más preguntas como esta?

Answer 1

Uno puede escribir \begin{align} \sum_{n = 1}^{ \infty}\frac{n^2}{n!}&=\sum_{n = 1}^{ \infty}\frac{n(n-1)+n}{n!} \\\\&=\sum_{n = 1}^{ \infty}\frac{n(n-1)}{n!}+\sum_{n = 1}^{ \infty}\frac{n}{n!} \\\\&=\sum_{n = 2}^{ \infty}\frac{1}{(n-2)!}+\sum_{n = 1}^{ \infty}\frac{1}{(n-1)!} \end {align} ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 2

$$e^x-1=\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n!}$$ Tomando $d/dx$ en ambos lados, $$e^x=\sum_{n\geq1}\frac{n}{n!}x^{n-1}$$ Multiplicando ambos lados por $x$, $$xe^x=\sum_{n\geq1}\frac{n}{n!}x^n$$ Luego de tomar $d/dx$ en ambos lados de nuevo, $$(x+1)e^x=\sum_{n\geq1}\frac{n^2}{n!}x^{n-1}$$ A continuación, enchufe $x=1$: $$\sum_{n\geq1}\frac{n^2}{n!}=2e$$

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Editar

Este es un muy buen truco que se utiliza ampliamente. Cada vez que vea un $n^k$ en el numerador, creo que la aplicación de la $x\frac{d}{dx}$ operador $k$ veces. Ejemplo: $$e^x-1=\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{n!}$$ Se aplican $x\frac{d}{dx}$: $$xe^x=\sum_{n\geq1}\frac{x}{n!}x^n$$ Se aplican $x\frac{d}{dx}$: $$x(x+1)e^x=\sum_{n\geq1}\frac{n^2}{n!}x^n$$ El patrón sigue: $$\left(x\frac{d}{dx}\right)^k[e^x-1]=\sum_{n\geq1}\frac{n^k}{n!}x^n$$

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Algo similar se puede hacer con la integración. Ejemplo:

Evaluar $$S=\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{(2n+2)(2n+1)}$$ Comienzo recordando que (el uso de series geométricas) $$\frac1{1+t^2}=\sum_{n\geq0}(-1)^nt^{2n}$$ Luego de integrar ambos lados de $0$ a $x$ conseguir $$\arctan x=\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$$ integrar ambos lados de $0$ a $1$ ahora para producir $$S=\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{(2n+2)(2n+1)}=\frac\pi4-\frac12\log2$$

Answer 3

Sólo para dar un enfoque ligeramente diferente,

PS

El truco para leer esto es observar qué cambios se producen en cada signo de igual a medida que avanza de izquierda a derecha y comprender qué justifica la igualdad para cada cambio.