Integrar $\int\frac{\cos^2(x)-x^2\sin(x)}{(x+\cos(x))^2}dx$

Question

Tuve que integrar la siguiente integral:

\begin {Ecuación} \int\frac { \cos ^2(x)-x^2 \sin (x)}{(x+ \cos (x))^2}dx \end {Ecuación}

pero no puedo encontrar una sustitución adecuada para encontrar una solución. Nada de lo que intento funciona y sólo parece complicarlo más. ¿Alguien tiene una idea de cómo resolver esto?

También intenté obtener ayuda de WolframAlpha pero sólo dice que no hay una solución paso a paso disponible.

La sollución de wolfram alpha es: \begin {Ecuación} \int\frac { \cos ^2(x)-x^2 \sin (x)}{(x+ \cos (x))^2}dx = \frac {x \cos (x)}{x+ \cos (x)} + c \end {Ecuación}

Answer 1

Cuando ves una integral como esa, aunque rápidamente encuentras $u=x+\cos x$ no funcionará, no puedes evitar pensar que habrá una bonita antiderivada de la forma $\frac{f}{x+\cos x}$ . Así que ahora, queremos resolver $$\cos^2x-x^2\sin x=(x+\cos x)f^\prime-(1-\sin x)f.$$ Podemos escribir el lado izquierdo como una combinación lineal de $x+\cos x,\,1-\sin x$ ? Después de experimentar un poco, sí: es $$x\cos x-x^2\sin x+\cos^2x-x\cos x\sin x-x\cos x+x\cos x\sin x\\=(x+\cos x)(\cos x-x\sin x)-x\cos x(1-\sin x),$$ lo que implica la elección $f=x\cos x,\,f^\prime=\cos x-x\sin x$ que felizmente son consistentes.

Answer 2

\begin {Ecuación} \int\frac { \cos ^2 x-x^2 \sin x }{(x+ \cos x)^2}dx \end {Ecuación}

Dividir el numerador y el denominador por $x^2\cos^2 x$

\begin {Ecuación} \int\frac { \cos ^2 x-x^2 \sin x }{(x+ \cos x)^2}dx = \int\frac { \dfrac {1}{x^2}- \dfrac { \sin x}{ \cos ^2 x}}{( \dfrac {1}{ \cos x}+ \dfrac {1}{x})^2}dx = \frac {1}{ \dfrac {1}{ \cos x}+ \dfrac {1}{x}} + C = \frac {x \cos x}{x + \cos x} + C \end {Ecuación}

Answer 3

Obsérvese que la derivada de $x + \cos(x)$ en el denominador es $1-\sin(x)$ . Podemos intentar que este término aparezca en el numerador y luego integrar por partes. Tenemos $$ \frac{\cos^2(x)-x^2\sin(x)}{(x+\cos(x))^2} = \frac{\cos^2(x) - x^2 + x^2(1-\sin(x))}{(x+\cos(x))^2} = \frac{\cos(x) - x}{x+\cos(x)} + x^2 \frac{1-\sin(x)}{(x+\cos(x))^2} \, ,$$ así que \begin {align} \int \frac { \cos ^2(x)-x^2 \sin (x)}{(x+ \cos (x))^2} \, \mathrm {d}x &= \int \frac { \cos (x) - x}{x+ \cos (x)} \, \mathrm {d} x - \frac {x^2}{x+ \cos (x)} + \int \, \frac {2 x}{x+ \cos (x)} \mathrm {d} x \\ &= x - \frac {x^2}{x+ \cos (x)} = \frac {x \cos (x)}{x+ \cos (x)} \end {align} como se desee.